波动方程反向散射逆问题的唯一性

摘要

波动方程是用来描述声波、光波、电磁波等波的波动特性的一类偏微分方程.对波动方程的反向散射逆问题的数学理论的研究一直是数学界和物理界关注的重点,并且对于声速的唯一性问题的研究取得一定的成果.本文主要探讨在位势不变的情况下,波动方程的反向散射的逆问题,主要是通过散射核这一反向散射的反响来研究逆问题从而确定声速的唯一性.
　　对唯一性问题的研究一直以来都是偏微分方程研究中的重要方面.本文主要利用Lax-Phillips的散射理论来研究波动方程的反向散射逆问题.在本文中,反向散射逆问题是通过测量波沿着反向散射的方向的反应来决定声速.首先介绍波动方程的散射理论并得到波算子以及散射算子的关系式,再由散射算子与改进的Radon变换的关系得到散射核与散射解、位势和声速的关系式.然后通过程函方程和传输方程进一步得到散射解的奇异性分解,并得到散射解表达式中系数的性质,进而将散射解的表达式代入散射核的关系式中.由于多了一部分含有位势的项,为方便估计,我们将上述表达式拆为两部分,再结合已知引理中算子的性质和散射解表达式中系数的估计式分别得到算子的估计式,从而得到散射核的估计式.最后由散射核与声速的关系式可得到声速的估计式,进一步在散射核相等的情况下,可得到声速的唯一性.

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1 绪论

1.1 波动方程反向散射逆问题的研究背景

1.2 波动方程反向散射逆问题的发展现状

1.3 本文的主要结果及工作安排

2 预备知识

2.1 常用记号与不等式

2.2 散射理论和Radon变换

2.3 关于散射核的重要等式

3 波动方程反向散射逆问题的唯一性定理

3.1 散射解的奇异分解

3.2 算子的性质

3.3 波动方程的唯一性定理

4 结束语

致谢

参考文献