Markov转移高敏度均值回复过程和Euler-Maruyama近似解

摘要

随机微分方程相关知识在近几十年一直有很广泛的应用。包括在物理、化学、力学、生物、经济金融方面、控制论、航天业等许多领域发挥巨大作用。我们已经获知，随机微分方程理论有关知识可帮助解决资本市场极多经济难题。例如可以用于对利率模型、经济金融定价等的分析研究。利率是金融市场里极重要的因素。随着我们对利率问题研究的不断加深，目前已经有很多有关SDE的模型用来对它的波动性做了相关模拟。增大了利率的预测值准确性，这也会极大程度地降低一些金融活动的风险，推进经济社会得良好发展。
　　有学者研究得到，成功的连续时间短期利率模型是可以使利息波动变化对利率水平高敏感的。然而从数学角度看，对利率水平高敏感意味着微分方程系数不满足线性增长条件，因此不能用传统数学方法来考察它的性质。另一方面，探索中国金融市场的短期利率特征，我们发现我国短期利率具有波动大、时变性强等特点。因此，本文中引入Markov切换过程，考察Markov切换过程下的短期无风险利率模型。在此模型的基础上，本文探讨Markov切换过程下利率模型在非线性增长条件下的数学问题。例如该方程非负解存在唯一性、随机有界且渐近性问题，随后考察它的分析性质和数值解依概率收敛性。其收敛结果可以拿来计算某些金融产品的预期收益。即用E-M方法计算金融产品定价问题。例如，我们可以应用该结果计算高敏度均值恢复过程下的债券利率价格等。

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1 绪论

1.1 研究背景和意义

1.2 问题描述及研究现状

1.3 本文主要结果及证明思路概述

2 模型解的存在性

2.1 预备知识

2.2 全局正解

3 有界性

3.1 矩有界性

3.2 随机有界性

3.3 路径估计

4 Euler-Maruyama近似

4.1 Euler-Maruyama方法

5 在经济上的应用

5.1 股票价格

5.2 看涨期权问题

结 束 语

致谢

参考文献