考虑微结构随机性的三维MRCT多尺度计算方法及其在骨材料中的应用研究

摘要

材料的力学性能本质上取决于材料微观结构在不同尺度下的变形行为。多尺度数值方法可以高效而准确地描述材料微结构与材料性能之间的联系，建立材料的力学模型。MRCT(Multiresolution Continuum Theory)理论是一种应用范围较广并能考虑尺度效应的多尺度数值方法，但是目前在运用MRCT理论时存在三个问题：一是如何将现有的二维MRCT方法用于解决三维问题，二是如何考虑材料微结构的随机性，三是如何选定材料本构和获得材料参数。本文以骨材料为对象，建立了考虑材料微结构形貌随机性的三维MRCT多尺度计算方法，提出了代表体元RVE(Representive Volume Element)的三维建模方法及其特征尺寸的定量确定准则，用嵌套式稀疏网格配置点法考虑材料微结构形貌随机性，引入高阶的速度项和速度梯度项建立高阶MRCT(h-MRCT)控制方程，并以骨质材料为例进行了算例验证。本文取得的主要研究结果如下：
　　（1）建立了基于MRCT的三维有限元计算框架及程序（MRCT-FEM）。MRCT控制方程较传统有限元法有较大不同，其最主要的特点在于引入了微应力项和微应力偶项。本文对MRCT控制方程在三维情况下的有限元列式进行了推导，给出了六面体等参单元的相关矩阵，编写了三维MRCT的有限元计算程序。
　　（2）在MRCT-FEM计算中，代表体元RVE的建立至关重要。本文对骨试样进行了微CT扫描，获得了断层扫描图片数据，利用区域分离法(DSM)建立正交六面体网格离散的微结构有限元模型，研究了DSM中不同的单元尺寸、朝向对有限元模型的影响；基于Mori-Tanaka平均场理论研究了RVE尺寸的选取原则，得到RVE尺寸应选取为2.88倍内部特征尺寸。
　　（3）材料微结构在一般情况下是未知的，往往只能知道孔隙率、密度等均匀化后的宏观信息，由于没有考虑微结构的随机性，这种以宏观平均量去度量微结构的方法存在较大误差。另一方面，为了考察微结构随机性，需要大量的微结构RVE，而通过大量扫描实验实际测量获得数据的方法缺乏可行性。本文提出了骨微结构重建的模拟方法，考虑了药物和应力刺激效应，并通过数值计算得到了大量的骨微结构样本数据。计算结果表明，提出的微观骨重建模拟方法能够很好地反映正常骨质结构在外界刺激的下的演化过程。通过对多个RVE采用相同步长并在界面上进行同步的方法，对人体宏观骨结构(股骨头)的微结构演化进行计算。
　　（4）利用计算得到的大量骨微结构样本数据建立大量的RVE，通过加载周期性边界条件进行DNS数值模拟(Direct Numerical Simulation)，得到各个尺度下材料广义等效应力-应变曲线。根据孔隙率对这些曲线进行分组，对不同孔隙率下的曲线数据进行拟合，获得了不同尺度下本构模型的参数。然后，通过MRCT-FEM方法模拟了骨试样的压缩试验，结果表明MRCT-FEM方法能够较好地模拟出骨试样在压缩过程中的软化行为。结合嵌套式稀疏网格随机配置法(NSSCM)和MRCT-FEM对考虑随机性后的压缩试验进行模拟，结果表明支反力极值大于0.18kN且小于0.22kN（压缩试验结果为0.2kN）的概率只有0.223。
　　（5）通过速度项和速度梯度项的二阶Taylor展开在MRCT的基础上引入高阶项，对虚动能项、虚动功率项、虚内能项、虚外功率项进行进一步修正，通过虚功率平衡得到高阶MRCT(h-MRCT)控制方程，随后给出了一维情况下MRCT-FEM和h-MRCT-FEM的有限元列式，并以由两种不同材料组成的一维杆的做为算例进行了计算分析。

目录

声明

1 绪 论

1.1 引言

1.2 多尺度计算与多解析度连续介质理论

1.3 MRCT的国内外研究现状

1.4 本文的主要研究内容及创新点

1.5 本文章节安排

1.6 本章小结

2 传统MRCT理论及其三维扩展

2.1 理论基础

2.2 三维MRCT有限元列式

2.3 三维MRCT计算程序

2.4 算例

2.5 小结

3 骨微结构建模及其演化

3.1 基于微CT扫描图片的三维骨质微结构DSM建模方法

3.2 考虑药物作用和应变刺激下的骨微结构演化

3.3 算例

3.4 小结

4 考虑微结构随机性的MRCT-FEM

4.1 随机配置法理论基础

4.2 配置点的嵌套化和稀疏化

4.3 基于稀疏网格随机配置法的MRCT-FEM求解程序框架

4.4 简单算例

4.5 骨质微结构DNS及考虑随机性的材料模型

4.6 小结

5 骨试样压缩试验及其计算仿真

5.1 骨试样单轴压缩试验

5.2 包含骨小梁微结构的详细模型常规有限元计算仿真

5.3 MRCT-FEM计算仿真

5.4 考虑微结构随机性的MRCT-FEM计算仿真

5.5 计算仿真结果分析

5.6 小结

6 高阶MRCT计算理论

6.1 虚动能项和虚动功率项

6.2 虚内能项及虚内功率项

6.3 虚外能项及虚外功率项

6.4 控制方程

6.5 一维问题有限元列式

6.6 算例

6.7 小结

7 全文总结与工作展望

7.1 本文工作总结

7.2 下一步工作展望

致谢

参考文献

附录1 攻读博士学位期间发表的主要论文

附录2 博士生期间参与的课题研究情况