广义Korteweg-de Vries-Burgers方程柯西问题行波解的渐近行为

摘要

Korteweg-de Vries-Burgers方程是非线性发展方程中重要的研究对象之一,它不仅可以用来解释物理学中声波等物理现象,并且还可以作为研究流体力学的数学模型.目前对于Korteweg-de Vries-Burgers方程柯西问题的研究,大多集中在讨论其稀疏波解的非线性稳定性和大时间行为,可参阅文[1,2],但对其行波解的情况研究较少. 本文讨论了如下广义Korteweg-de Vries-Burgers方程的柯西问题｛ut+f(u)x+δuxxxμuxx=0,t＞0,x∈R,u(x,t)|t=0=u0(x)→u±,x→±∞(Ⅰ)行波解的稳定性和大时间行为.其中f(u)为充分光滑的凸函数,u_≠u+为两个给定的常数,常数μ＞0代表耗散系数,δ≠0代表色散系数. 对于上述广义Korteweg-de Vries-Burgers方程的柯西问题,本文首先运用相平面方法给出了保证其单调行波解存在的限制条件.在此基础上,通过压缩映像原理建立了在初始扰动充分小的情况下柯西问题(I)光滑解的局部存在性,并借助L2能量法给出了解的先验估计,从而运用连续性技巧证明了上述柯西问题(I)行波解的整体存在性和非线性稳定性.进一步,通过时空加权能量方法,在适当的加权空间内,获得了上述柯西问题(I)的解收敛到其相应行波解的代数衰减估计.

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摘 要

Abstract

1 绪论

1.1 KdV-Burgers 方程的研究背景和进展

1.2 记号注释及结构安排

2 单调行波解的存在性

2.1 单调行波解 (z) 的存在性证明

3 行波解的渐近稳定性

3.1 问题的改写及主要结果

3.2 命题3.2的证明

4 代数衰减率

4.1 行波解的代数衰减率

结 束 语

致 谢

参考文献