求解刚性常微分方程的两类函数拟合Rosenbrock方法

摘要

随着对刚性常微分方程初值问题的不断深入研究，国内外学者给出了许多较为有效的特殊Runge-Kutta方法，主要包括对角隐式Runge-Kutta方法和Rosenbrock方法。函数拟合方法是一类在局部区间上用一个有理函数来近似地表示刚性常微分方程的解的方法，考虑在其解区间上构造指数拟合的函数，来使得其近似逼近原方程的解曲线，其中比较有效和精确的算法是将Runge-Kutta方法与指数拟合相结合来处理刚性问题。同时，对于一类解可由集合{eiωx,e-iωx}或由集合{cos(ωx),sin(ωx)}(ω>0)线性组合的一阶常微分方程初值问题，可将三角拟合思想应用于Runge-Kutta方法上，来得到一类相比传统方法来说更具优势的新方法。学者们将对角隐式Runge-Kutta方法结合指数拟合和三角拟合的研究已经做了较多的工作，而未见采用指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法，且Rosenbrock方法相对于对角隐式Runge-Kutta方法来说，具有更小的计算量，故本文将针对常微分方程初值问题这一模型，利用Rosenbrock方法结合指数拟合和三角拟合思想来得到一类在误差和精度上具有更好的表现的方法。 在第一章，介绍了关于刚性常微分方程初值问题的研究背景和国内外现状，且给出了早期学者们对Rosenbrock方法的发展与改进。 在第二章和第三章，构造了一类二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法，得到了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法的具体格式，并证明了不存在此类三级3阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法。最后验证了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法是A-稳定的。 在第四章，利用数值实验验证了指数拟合Rosenbrock方法的有效性，主要应用了几组不同的数值实验来比较方法的收敛性和计算时间，通过实验结果得到与理论基本一致的结论。 在最后一章，主要是对本文做一个总结，并针对本文未涉及到的其它模型和方法给出了笔者后期的一些想法与计划。

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