Pattern序列的关联测度和维数

摘要

定义在字符表{1,1}上的无穷序列是数学中古老而有趣的研究对象.本文研究的是其中被称为“算术分形”的一类pattern序列,主要讨论了这类序列的关联测度(correlation measure)和关联维数(correlation dimension)的情况. 论文共分为五章:第一章介绍了分形几何和动力系统的相关背景,以及所研究对象的物理学背景.第二章的预备知识中,我们回顾了序列关联测度和关联维数的定义以及基本性质,还介绍了Φ2({1,?1})序列和pattern序列的各自定义和相互联系,最后给出了3个重要的引理. 在第三章中,我们给出所有2阶pattern序列的结果.将序列{an}n≥0分为长为2的子段后,对于非负整数n,m成立:an(a2n a2n+1)=am(a2m a2m+1),n≡m(mod2).通过这个式子我们知道只要给出序列的前4项a0,a1,a2,a3就能生成整个序列.为了了解关联测度的情况,我们计算了它们的关联函数.发现2阶pattern序列的关联测度有三种情况,分别由乘积a0a1a2a3对应的三种情况确定.当a0a1a2a3=?1时,序列的关联测度就是Lebesgue测度(此时我们称序列是非关联(noncorrelated)的),并且D2=1.另一方面在a0a1a2a3=1时又分为两种情况:如果a2=1,则序列是周期的,关联测度是离散的,D2=0;如果a2=?1,则序列的关联测度是奇异连续的,D2=3?log2(1+√17). 第四章刻画了3阶pattern序列是非关联的情形.很容易知道此类序列可以由其前8项以及如下关系式确定:ana2n+i=ama2m+i(i=0,1),n≡m(mod22).我们所得的充要条件表明只要序列的前8项a0,a1,…,a7满足给出的三种情形之一时,序列都是非关联的,同时D2=1. 第五章得到了具有degree k和bound l的special pattern集的special pattern序列是非关联的充要条件是l=2.另外对于一般情况我们还研究了k+1(k≥1)阶的pattern序列,并且得到了这类序列是非关联的一个充分条件. 在第六章,我们总结了本论文的主要结果,提出了一些可以进一步研究的问题.

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摘 要

Abstract

1 绪论

1.1 分形几何和准晶体

1.2 动力系统

2 预备知识

2.1 关联测度和维数

2.2 2({1,-1}) 序列和 Pattern (斑图) 序列

2.3 几个引理

3 关于 2 阶 pattern 序列的结果

3.1 引言及主要结果

3.2 定理 3.1 的证明

4 关于 3 阶 pattern 序列的结果

4.1 引言与主要结果

4.2 定理 4.1 的证明

5 一般 k 阶 pattern 序列的结果

5.1 引言及主要结果

5.2 定理 5.1的证明

5.3 定理 5.2 的证明

6 结论

致 谢

参考文献

1 攻读学位期间发表论文目录

2 攻读博士学位期间参与的科研项目