应用再生核解Riemann-Liouville分数阶导数微分方程两点边值问题

摘要

分数阶微积分出现至今己经发展了很长一段历史,它的应用领域很广,比起传统的整数阶微积分模型,用新的分数阶模型能更精确地模拟现实问题,能非常有效地描述各种各样物质的记忆和遗传性质.对于整数阶微分方程,相关数值算法理论比较成熟,而对于这些分数阶模型中的分数阶微分方程,数值算法研究起步不久,特别是理论分析方面目前还比较有限.
　　本文针对所研究Riemann-Liouville分数阶导数微分方程两点边值问题,对Rie mann-Liouville分数微积分的基本理论提供了一份简单的综述.研究了Riemann-Liouville分数阶微积分的一些性质,澄清了整数阶微积分和分数阶微积分的不相容性.为了解决此类问题,构造了相应的再生核空间,利用再生核良好的局部再生性质,求解了Riemann-Liouville分数阶导数微分方程两点边值问题.给出了两点边值问题的精确解的级数表达形式,通过对精确解的截断得到了数值近似解,计算出了问题的精确解和近似解的数值计算结果.数值算例验证了再生核数值算法不仅是有效的而且精度高.
　　本文的创新点是:将Riemann-Liouville分数阶导数微分方程两点边值问题合理的加入到相应的再生核空间中,构造并计算出满足问题的条件的再生核函数,进而求解问题.

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究现状

1.2 Gamma函数和Beta函数

1.3 Laplace变换

1.4 Grü waled-Letnikov分数阶微积分

1.5本章小结

第2章 Riemann-Liouville分数阶微积分

2.1 整数阶微分和积分的统一

2.2 任意次积分

2.3 任意阶导数

2.4 关于幂函数(t- a)v , v >- 1 的Riemann-Liouville分数阶微积分

2.5 Riemann-Liouville分数阶微分和积分的运算

2.6 整数阶导数和分数导数之间的关系

2.7 分数导数之间的关系

2.8 Riemann-Liouville的左分数阶导数和右分数阶导数

2.9 Riemann-Liouville分数阶微分和积分的性质

2.10 Riemann-Liouville分数微积分的Laplace变换

2.11 整数阶导数和分数阶导数的区别

2.12 Caputo分数阶导数及三种定义之间的关系

2.13 本章小结

第3章 应用再生核解Riemann-Liouville分数阶导数微分方程两点边值问题

3.1 再生核空间Wp[a, b]的相关理论

3.2 带有两点边值条件的再生核空间W3[0, 1]及其再生核函数

3.3 微分方程的精确解的表示

3.4 精确解和近似解的数值计算结果

3.5 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间所发表的学术论文

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