求解第一类算子方程的一种正则化方法

摘要

在许多领域中，数学物理反问题都有着广泛而重要的应用，且理论新颖、富有挑战性.反问题通常为不适定问题，这是因为数学物理反问题在求解的过程中存在两个本质性的实际问题:一为解不存在或者存在不唯一，这通常是由原始数据是过定的或欠定的导致的;另一为近似解不稳定，即原始数据对于近似解往往不具有连续依赖性.针对求解不适定问题，普遍运用正则化方法.这一方法的主要思想是，将原有问题的解用一族与相邻近的适定问题的解去逼近，这需要研究三大核心问题，即正则化算子的构造、正则化参数的选取及数值的快速实现.在不适定问题的求解中，吉洪诺夫正则化方法是最为有效和最普遍的方法，它是以第一类算子方程作为基本数学框架且深入发展的正则化方法.
　　本文首先介绍了反问题与不适定问题的相关数学理论、Tikhonov正则化方法以及正则化方法中参数的选取，并给出一些实例.然后在Tikhonov正则化方法的基础上提出一种新的求解第一类算子方程的正则化方法，其中算子及右端项都为近似给定的，且依据广义Arcangeli方法选取正则参数，证明正则解的收敛性，且与Tikhonov正则化方法相比较，提高了正则解的渐近阶估计.同时给出该正则化方法的更一般情况，使得正则解的渐近收敛阶得到最优，且该方法不依赖于迭代.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究目的及意义

1．2 国内外研究现状分析

1．3 课题的来源

1．4 本文的主要研究内容

第2章 不适定问题的概述

2．1 反问题及不适定问题

2．1．1 反问题

2．1．2 不适定问题

2．2 不适定问题正则化的一般理论

2．2．1 一般正则化理论

2．2．2 Tikhonov正则化方法

2．2．3 选取正则化方法中的参数

2．3 本章小结

第3章 解第一类算子方程的一种正则化方法

3．1 引言

3．2 正则解的收敛性

3．3 正则解的渐近阶估计

3．4 更一般的情况

3．5 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

致谢