流体饱和多孔隙介质弹性波方程正反演的小波方法研究

摘要

地球内部流体的存在和岩石的各向异性是地下介质的两大表征。其中孔隙流体的存在、固体和流体之间的相互作用会弱化或硬化岩石的力学属性，从而引起声波或弹性波速度的频散和振幅的衰减，并产生第二类纵波。而由固相与液相或固相与气体所组成的岩石双相系统有其自身的特殊规律，它们已不再是理想的纯固体，描述其性态的波动理论势必涉及到微观层次上岩石系统固相与流相相互作用、相互干扰的岩石物理作用过程。
　　流体饱和多孔隙介质是由固体和流体两相物质组成的双相介质。流体饱和多孔隙介质理论认为固相是均匀的、各向同性的弹性多孔隙骨架；液相是充满孔隙空间的具有粘性的可压缩流体。相比传统的单相弹性介质理论，流体饱和多孔隙介质理论能更精确地描述实际地层和地层性质。因此，深入研究流体饱和多孔隙介质波动方程的正反演方法不仅有较高的理论价值也有着广泛的工程意义。
　　作为地球物理勘探的主要手段，地震勘探反演已从当初寻求简单模型的解析解发展到求取复杂介质的优化解。由于反问题本身具有的不适定性和非线性性所引起的局部极值问题和计算量问题仍旧是困扰反演研究的两大难题。近些年来，小波分析方法以其良好的时频域局部性和多分辨分析特性而被广泛地应用于偏微分方程的自适应求解和多尺度反演计算以求克服局部极值的影响，解决反问题计算量过大的问题。本文主要是以Biot的连续介质理论为基础，将传统的正反演方法和小波多分辨分析相结合，构造小波有限元法和小波域多尺度有限差分法用于流体饱和多孔隙介质弹性波方程的正演模拟分析，并以可测量边界位移信息为附加条件，构造小波多尺度反演方法用于流体饱和多孔隙介质弹性波方程介质参数反演的研究。主要完成的工作有以下内容：
　　详细推导了基于流体饱和多孔隙介质Biot理论的弹性波传播位移方程及相应的P波波动方程和S波波动方程，分析探讨了紧支撑正交小波Daubechies小波的良好特性，给出了Daubechies小波尺度函数函数值和导数值的计算公式，为以后的弹性波方程正反演研究打下了坚实的背景理论基础。
　　以Biot连续介质理论为基础，充分利用标准正交小波良好的特性，将小波分析和传统的有限元法相结合，以二维Daubechies小波的尺度函数代替多项式函数作为插值函数构造二维张量积小波单元，构造了基于伽辽金法的用于流体饱和多孔隙介质弹性波方程正演模拟的小波有限元法。通过引入一特征函数，解决了Daubechies小波没有显式解析表达式所带来的积分值求解难题。推导出计算分数节点上Daubechies小波函数值的递推公式，从而构造出快速小波变换实现了波场向量空间和小波系数空间之间的相互转换。用Matlab编写了相应的计算机程序，给出了一维流体饱和多孔隙介质模型的数值算例，并与解析解作了对比；针对二维地震勘探模型采用小波有限元法数值模拟了弹性波在均匀介质和分层介质中的传播，给出了相应的地震记录，为以后的介质参数反演研究奠定了坚实的基础。
　　将小波分析和多尺度反演方法相结合构造了小波多尺度反演方法，并将之应用于流体饱和多孔隙介质弹性波方程的参数反演。利用小波变换，将原始反问题分解为不同尺度上的一系列子反问题，并按照尺度从粗到细的顺序依次求解。在每一个尺度上，都采用稳定、收敛快的正则化高斯牛顿法求解，次一级尺度上求出的“全局最优解”作为上一级尺度的初始解，依此类推，直到求出原始问题的真正的全局最优解。将小波多尺度方法归结为三种不同算子(分解算子、求解算子、插入算子)的交替应用，给出了小波多尺度反演算法的基本流程图，并推导出当采用Daubechies紧支撑正交小波时，小波多尺度算法涉及到的分解算子矩阵和插入算子矩阵。针对一维、二维情形作了多尺度反演数值算例，并通过与传统的正则化高斯牛顿法相比较，显示了小波多尺度法是一个大范围收敛、能够有效节省计算量的方法。同时为验证方法的稳定性，本文对二维问题进行了抗噪声分析，对测量数据分别加入5％和13%的噪声进行反演，得到了较为理想的结果。
　　基于小波函数自身良好的特性构建小波类自适应性算法，初步探讨流体饱和多孔隙介质弹性波方程在小波域的多尺度模拟。详细推导了流体饱和多孔隙介质P波波动方程的有限差分矩阵表示形式，并采用标准多分辨分析分解利用小波变换将其转移到小波域，设置阈值形成更为稀疏的迭代矩阵以构建自适应算法，从而达到减少计算量，增加地震波场数值模拟灵活性和准确性的目的。地球物理勘探的数值模拟实例验证了方法的有效性。

目录

流体饱和多孔隙介质弹性波方程正反演的小波方法研究

THE WAVELET ANALYSIS METHOD FOR DIRECT SIMULATION AND INVERSION OF ELASTIC WAVE EQUATION IN THE FLUID-SATURATED POROUS MEDIUM

摘要

Abstract

Contents

第1章 绪论

1.1 课题背景

1.2 流体饱和多孔隙介质Biot理论理论模型研究进展

1.3 流体饱和多孔隙介质Biot理论正演求解研究进展

1.4 流体饱和多孔隙介质Biot理论反演计算研究进展

1.5 本文主要工作

第2章 流体饱和多孔隙介质弹性波传播理论基础

2.1 Biot理论

2.2 Biot理论位移控制方程具体推导

2.3 本章小结

第3章 小波分析理论基础

3.1 小波变换理论基础

3.1.1 从Fourier变换到小波变换

3.1.2 小波变换定义

3.1.3 二维小波变换

3.2 多分辨分析

3.2.1 多分辨分析

3.2.2 二维多分辨分析

3.2.3 标准Mallat分解和重构

3.3 常用小波函数介绍

3.3.1 Haar小波

3.3.2 Littlewood-Paley小波

3.3.3 Meyer小波

3.3.4 Morlet小波

3.3.5 Marr小波

3.3.6 Daubechies紧支撑正交小波

3.4 本章小结

第4章 流体饱和多孔隙介质波动方程正演模拟的小波有限元方法

4.1 前言

4.2 小波有限元法

4.2.1 小波有限元法的构造

4.2.2 小波有限单元关联系数求解

4.3 流体饱和多孔隙介质一维波动方程的小波有限元解

4.3.1 小波有限元法

4.3.2 快速小波变换

4.3.3 数值算例

4.4 流体饱和多孔隙介质二维波动方程的小波有限元解

4.4.1 小波有限元法

4.4.2 边界条件

4.4.3 快速小波变换

4.4.4 数值模拟

4.5 本章小结

第5章 流体饱和多孔隙介质弹性波方程参数反演的小波多尺度法

5.1 前言

5.2 小波多尺度算法

5.2.1 分解算子和插入算子

5.2.2 求解算子

5.2.3 小波多尺度反演算法

5.3 小波多尺度反演数值模拟

5.3.1 一维流体饱和多孔隙介质波动方程孔隙率反演

5.3.2 二维流体饱和多孔隙介质弹性波方程孔隙率反演

5.4 本章小结

第6章 流体饱和多孔隙介质P波波动方程小波域多尺度模拟初探

6.1 前言

6.2 流体饱和多孔隙介质P波波动方程有限差分表示

6.3 有限差分方程矩阵形式的多分辨分析表示

6.4 流体饱和多孔隙介质P波波动方程小波域求解

6.5 流体饱和多孔隙介质P波波动方程小波域数值模拟

6.6 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的学术论文

哈尔滨工业大学博士学位论文原创性声明

哈尔滨工业大学博士学位论文使用授权书

致谢

个人简历