层状介质中瑞利波频散函数的Chebyshev多项式逼近及分析

摘要

瑞利波法是一种新兴的地球物理勘探方法。它主要用到了层状介质中瑞利波的频散特性，涉及到瑞利波数据的采集、频散曲线的正演理论及反演解释三个问题。由于目前瑞利波法的数学理论还不完善，还没有得到频散曲线的单独计算公式，这就使得以正演为基础的反演工作受到阻碍，进而极大地限制了瑞利波法的工程应用。本课题基于多项式逼近思想，在理论上对层状介质中瑞利波频散函数进行了研究，具体研究内容如下：
　　利用Chebyshev多项式作为基函数逼近久期函数，即频率或速度一定时的一元频散函数，发现利用Chebyshev多项式进行拟合对于高频周期震荡的久期函数效果好，精度高。文中采用Chebyshev逼近方法逼近低频和高频时的久期函数，给出久期函数的显格式,易于对频散点的提取。同时，利用文中所提的方法拟合出了速度递增模型和含有硬夹层模型的久期函数。验证了该方法在频散曲线分析中的有效性。
　　文中重点分析地层参数对拟合函数系数的影响，得出结论是：横波速度和深度的变化对地层的频散函数影响明显，且深度影响明显。纵波速度和深度对频散函数几乎没有影响。因此，横波波速和深度是我们利用瑞利波频散特性分析地层的重要参考。
　　为了易于工程上的应用和推广，文中采用三阶多项式连接的拟合方式，将久期函数拟合成分段的三次Chebyshev多项式形式。该表达形式方程简单，误差不会积累，且保持了连续性和光滑性。
　　文章将三维空间的Chebyshev最小二乘拟合思想与曲面重构技术结合，推到出二元频散函数的拟合公司，局部拟合出频散函数的形状。本文的研究为瑞利波地质勘探提供了便利，为多层及复杂地层频散曲线的研究提供了新的研究思路。

目录

层状介质中瑞利波频散函数的Chebyshev多项式逼近及分析硕士

THE APPROXIMATION AND ANALYSISOF DISPERSION FUNCTION OFRAYLEIGH WAVES WITH CHEBYSHEVPOLYNOMIALS

摘 要

Abstract

目 录

第1 章 绪论

1.1 研究背景

1.2 本课题研究的目的及意义

1.3 国内外研究的发展现状

1.3.1 曲线拟合的现状

1.4 本文研究的主要内容

第2 章 最小二乘法与Chebyshev 多项式

2.1 引言

2.2 最小二乘原理

2.3 曲线、曲面拟合

2.3.1 曲线多项式拟合

2.3.2 曲面拟合

2.4 Chebyshev 多项式

2.4.1 定义

2.4.2 性质

2.4.3 Gauss-Chebyshev 积分

2.5 本章小结

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明

第3 章 Chebyshev 多项式拟合在久期函数中的应用

3.1 引言

3.2 Chebyshev 多项式拟合的算法推导

3.2.1 区间[-1,1]上函数f (x)的逼近

3.2.2 区间[a , b]上函数f (x)的逼近

3.3 算法分析

3.3.1 算例比较

3.4 Chebyshev 拟合和常规多项式拟合比较分析

3.5 拟合多项式与地层参数的分析

3.6 久期函数的分段逼近方法

3.6.1 公式推导

3.6.2 p(x) 和q(x) 的连接

3.7 本章小结

第4 章 频散函数的拟合

4.1 引言

4.2 Chebyshev 多项式曲面拟合算法

4.2.1 区间上逼近曲面z(x, y)

4.2.2 区间[a,b]′[c, d] 上逼近曲面z(x, y)

4.3 算例分析

4.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果

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致谢