非线性动力学双参量奇异性方法及其工程应用

摘要

动力系统的分岔理论与方法作为非线性动力学的重要组成部分，在工程技术领域中得到了广泛的应用。对于含参数系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性性态会发生突然变化——分岔。近年来，人们提出了多种研究动力系统分岔问题的方法。在定性分析方面，奇异性理论得到了广泛的重视和应用。奇异性理论是研究约化方程分岔特性的一种有效而全面的方法，它使我们能够用统一的、明确的方法处理各种复杂的分岔问题。但是迄今为止奇异性理论在分岔问题中的应用主要集中在单状态变量、单分岔参数的动力系统中。随着科学技术的发展与进步，实际工程系统的动力学问题涉及到多参数、多状态变量的复杂系统，这使得非线性动力学的分岔研究面临挑战。
　　本文针对两状态变量、两分岔参数动力系统进行了分岔研究，并依之分析了输电线路的舞动机理及其优化控制等工程问题，以及一类生化反应系统的分岔问题：
　　1.对于实际的动力学系统，往往有很多的参数，究竟选哪个参数作为分岔参数，哪个参数会对解的结构引起定性的变化，是十分重要的问题。本文给出了一种选择主要分岔参数的方法。当系统参数受到小扰动时，系统的解结构可能会发生变化，而这一变化可通过系统的Frechet导数矩阵的特征值反映出来。因此将Frechet导数矩阵的特征值在临界值附近展开后可讨论参数变化对特征根的影响。对于特征根为单根和半简的情况，该方法尤为简单。对于特征根为亏损的情况，该方法虽略复杂，但同样适用。另外该方法还可推广到具有周期系数的动力系统中。
　　2.对于多自由度系统，常存在内共振。人们通常通过消元法、比值法、消元法与比值法相结合等方法将分岔方程约化为单状态变量分岔方程。研究发现，将多状态变量方程约化为一个状态变量系统以后会丢失了一些分岔特性。因此本文将奇异性理论的基本思想推广到了两状态变量系统的分岔分析之中。而对于多参数系统，例如化工系统、电力系统等所含有的实际物理参数很多，而且一些参数具有相同的地位，也就是说这些参数的变化都可能引起系统动力学行为的定性变化——分岔，因此都可作为分岔参数。本文将奇异性理论的基本思想推广到了两分岔参数系统的分岔分析之中，并给出了含有两分岔参数系统的转迁集的计算方法。
　　3.将两状态变量系统的奇异性理论应用到了输电线路舞动系统之中。应用Hamilton原理建立了输电线路舞动二维模型，其中考虑了变形引起的几何非线性以及空气流引起的空气动力非线性。通过多尺度法得到其分岔方程。应用奇异性理论的到其转迁集，可以看到在不同的参数区域，系统会出现分岔、滞后等不同的分岔模式。分岔、跳跃等现象都可能会引起输电线路的张力的突然变化，这对输电线路的强度来说是不利的，极可能造成输电线路的破坏。另外对输电线路舞动的一维模型进行了研究，得到其起舞的临界风速及振动幅值的解析解。还考虑了扭转对输电线路舞动的影响。为了评估防舞器的防舞效果，对加压重防舞器、动力减震器以及失谐摆的舞动优化控制技术进行了分析。因此本论文为输电线路设计和舞动控制奠定了理论基础。
　　4.分别将单分岔参数、两分岔参数系统的奇异性理论应用到了Duffing-van der Pol系统之中。比较发现，两分岔参数系统的分岔特性比单参数分岔系统的分岔特性要丰富很多，因此对于多参数系统，尤其几个分岔参数同样重要时，单将一个参数作为分岔参数是不够的。另外将两分岔参数系统的奇异性理论应用到了一类生化反应系统当中，分析了其分岔特性。

目录

非线性动力学双参量奇异性方法及其工程应用

SINGULARITY METHOD FOR NONLINEARDYNAMICAL ANALYSIS OF SYSTEMS WITHTWO PARAMETERS AND ITS APPLICATION INENGINEERING

摘 要

Abstract

目 录

Contents

第1章 绪 论

1.1 课题背景

1.2 奇异性理论的研究内容

1.3 奇异性理论的研究现状

1.4 奇异性理论的应用

1.4.1 奇异性理论在非线性振动系统中的应用

1.4.2 奇异性理论在约束系统中的应用

1.4.3 奇异性理论在对称系统中的应用

1.4.4 奇异性理论在滞后系统中的应用

1.4.5 奇异性理论在高余维系统中的应用

1.5 本文主要研究内容

第2章 寻找动力学系统主要分岔参数的一种方法

2.1 特征根分析

2.1.1 亏损特征根情况

2.1.2 单根情况

2.1.3 半简特征根情况

2.2 动力系统参数变化对特征根的影响

2.2.1 单根情况

2.2.2 亏损特征根的情况

2.2.3 半简特征根的情况

2.3 非自治系统参数变化对特征根的影响

2.3.1 有一个0 特征根的情况

2.3.2 有一对纯虚特征根的情况

2.3.3 有一对亏损0 特征根的情况

2.3.4 有两个半简0 特征根的情况

2.4 本章小结

第3章 多状态变量、多分岔参数系统的奇异性理论

3.1 奇异性理论的基本思想

3.2 多状态变量、多分岔参数系统的奇异性理论

3.3 两状态变量分岔系统的转迁集

3.4 两个分岔参数系统转迁集的计算方法

3.5 本章小结

第4章 两状态变量奇异性理论的应用

4.1 两状态变量系统与约化后系统的分岔特性的比较

4.1.1 两状态变量系统的奇异性分析

4.1.2 约化为一个状态变量系统后的奇异性分析

4.2 输电线路系统的分岔分析

4.2.1 输电线路系统垂向运动的动力学特性分析

4.2.2 输电导线系统面外运动的动力学特性分析

4.2.3 输电导线系统垂向和扭转耦合运动的动力学特性分析

4.3 本章小结

第5章 两分岔参数的奇异性理论的应用

5.1 多频激励下Duffing-van der Pol系统的分岔分析

5.1.1 数学模型及其分岔方程

5.1.2 将λ1看成分岔参数时系统的分岔分析

5.1.3 将λ2 看成分岔参数时系统的分岔分析

5.1.4 将λ1,λ2看成分岔参数时系统的分岔分析

5.2 一类可逆生化反应模型的分岔分析

5.2.1 生化反应过程的分岔方程

5.2.2 可逆生化反应模型的分岔分析

5.3 本章小结

结 论

参考文献

附录

攻读学位期间发表的学术论文

哈尔滨工业大学博士学位论文原创性声明

哈尔滨工业大学博士学位论文使用授权书

致 谢

个人简历