非线性演化系统的行波解和渐近传播速度

摘要

近三四十年来，非线性演化系统（特别是抛物型系统）的行波解与渐近传播速度理论吸引了很多学者的关注。所谓行波解，是指随着时间的推移，沿某个方向以恒定速度移动但形状不发生改变（或呈规律地变化）的一类特别的解；而渐近传播速度是上世纪七十年代新引入的概念，它是用来描述一类初值（如具紧支集）的最终传播速度。二者在种群生物学，传染病学，化学，燃烧理论等自然科学中有十分重要的意义。近十年来，很多工作都集中在单稳型和双稳型系统上，所谓单稳型系统，是指其空间齐性系统有两个平衡态：一个稳定，另一个不稳定；所谓双稳型系统，是指其空间齐性系统有两个有序且稳定的平衡态，而二者之间其它的平衡态都是不稳定的。目前，对单稳型具有一定紧性的单调半流，已有比较一般的抽象理论。然而，对于单稳型非单调的方程，双稳型单调半流，以及一些不具紧性的方程，还存在很多问题有待解决。本文的研究主要集中在上述三类演化系统。
　　首先研究单调但退化（即部分扩散系数为零）的反应扩散方程组。此时，系统不再具有紧性。在单稳情形下，本文构造了一对向量形式的上下解，再结合单调迭代的方法得到了行波解的存在性；在双稳情形下，本文利用扰动后的非退化系统来逼近退化系统（也称粘性消去法），得到了行波解的存在性。上述两个结果发展和补充了Volpert建立的关于反应扩散方程组的行波解理论。
　　其次研究两类单稳型非单调的方程。利用构造两个辅助的单调方程夹住非单调方程的思想来研究渐近传播速度和行波解的存在性与不存在性；而关于行波解的唯一性，本文先建立一个线性方程整体解的结构定理，然后借助于此定理得到波形函数在无穷远处确切的衰减速度，进而得到了唯一性。其中结构定理也有其自身的用处。此外，唯一性的证明克服了已有方法的某些局限性。
　　最后研究双稳型单调半流。此部分首先给出双稳结构的一种新的解释，从而将单稳和双稳情形结合了起来，并引出了反向传播这一几乎必要的条件。此部分系统地得到了双稳型半流的行波解存在性，包括连续环境上的离散和连续时间的紧半流，离散环境上的离散和连续时间的紧半流，时间周期的紧半流，周期环境上的紧半流，以及一些不紧的半流。同时把这些理论结果应用到了四类方程上，其中对具周期扩散系数的反应扩散方程，本文给出了其具有双稳结构的充分条件以及不具双稳结构的反例，进而说明此类方程的双稳结构并不仅由非线性项所确定。此外，对环境和时间均离散的情形，引入另一个算子首次拓宽了行波解的定义，为了克服此算子是非紧的困难，本文建立了一个关于抽象单调函数序列收敛性的Helly定理。

目录

非线性演化系统的行波解和渐近传播速度

TRAVELING WAVES AND SPREADING SPEEDS FOR NONLINEAR EVOLUTION SYSTEMS

摘 要

Abstract

目 录

Contents

插 图

List of Figures

第 1 章 绪论

1.1 课题的背景

1.2 本文结构和主要结果

第 2 章 单调但退化的反应扩散系统的行波解

2.1 预备知识

2.2 单稳情形

2.3 双稳情形

2.4 本章小结

第 3 章 单稳型非单调方程的行波解和渐近传播速度

3.1 一类具时滞且非局部的格上方程

3.1.1 预备知识

3.1.2 渐近传播速度与向上的收敛性

3.1.3 行波解的存在性与不存在性

3.1.4 线性积分微分方程整体解的结构

3.1.5 行波解的唯一性

3.2 一类积分方程

3.2.1 记号与假设

3.2.2 渐近传播速度与向上的收敛性

3.2.3 行波解的存在性与不存在性

3.2.4 行波解的唯一性

3.2.5 应用

3.3 本章小结

第 4 章 双稳型单调半流的行波解

4.1 记号与假设

4.2 预备知识

4.3 齐性环境上的半流

4.3.1 连续环境上的离散时间半流

4.3.2 连续环境上的连续时间半流

4.3.3 离散环境上的离散时间半流

4.3.4 离散环境上的连续时间半流

4.3.5 时间周期的半流

4.4 周期环境上的半流

4.5 非紧半流

4.6 应用

4.6.1 时间周期的反应扩散系统

4.6.2 圆柱上的反应扩散系统

4.6.3 具周期扩散系数的抛物型方程

4.6.4 非局部的时滞反应扩散方程

4.7 本章小结

结 论

参考文献

攻读博士学位期间所发表的学术论文

哈尔滨工业大学博士学位论文原创性声明

哈尔滨工业大学博士学位论文使用授权书

致 谢

个人简历