Orlicz空间理论在微分形式不等式中的应用

摘要

微分形式作为一类具有反对称性的张量场,是对多元函数的一种推广。这类张量场在物理学、力学、工程科学及数学中有着广泛的应用。例如经典分析中的梯度、散度与旋度以及Green、Gauss、Stokes等定理均可借助于微分形式统一表示出来。在函数中,调和方程作为一种特殊的偏微分方程,以势函数的形式深刻地描述了物理中各种场的性质。而微分形式中也有一类特殊的调和方程,即A-调和方程,它是许多经典调和方程如p-调和方程和拉普拉斯方程等的推广。正是由于微分形式以及微分形式A-调和方程具有如此广泛的应用价值,引起了学者们极大的研究兴趣。近十几年来,关于作用在微分形式上算子的Lp-范数不等式取得了丰硕的成果。然而把作为对Lp-空间推广的Orlicz空间中的基本理论应用在微分形式不等式的研究却仍然有待发展。
　　本文主要研究微分形式中几类重要的算子如外微分算子d、同伦算子T、投影算子H、Green算子G以及位势算子P组成的复合算子T°d°H、G°T、G°P与几类特殊的Young函数有关的积分和范数估计不等式。然后,又分别从这些积分和范数不等式获得了其局部加权不等式和在Lp(μ)-平均域上的全局形式。最后,研究了本文中定义的作用在微分形式上的分次积分算子Fα在满足特定的Orlicz条件(即Lα,-H¨ormander条件)下的相关不等式。具体来讲,本文作了以下几个方面的研究工作:
　　1.在毕卉定义的位势算子P的基础上,进一步研究了位势算子P与Green算子G组成的复合算子G°P的Lp范数不等式及其局部赋权形式,并由此给出算子G°P的各种Lipschtz范数和BMO范数不等式及其局部赋权形式。考虑到Lp(logL)α-范数是比Lp范数更为复杂的一种具体的Orlicz范数,我们又分别用两种不同的方法研究了复合算子G°T的Lp(logL)α-范数不等式,并进一步得到了其局部赋权形式及其在Lp(μ)-平均域上的全局形式。
　　2.研究了各种复合算子与两类抽象的Young函数(即G(p,q,C)-类Young函数和?p-类Young函数)有关的积分和范数不等式。在研究复合算子T°d°H与G(p,q,C)-类Young函数有关的赋权的积分不等式时,充分利用了G(p,q,C)-类Young函数的性质。而在研究复合算子G°P与G(p,q,C)-类Young函数有关的积分不等式时,不仅要利用G(p,q,C)-类Young函数的性质,还要用到分类讨论与划归转化的思想。在研究算子G°T与p-类Young函数有关的Lebesgue平均测度意义下的Orlicz的范数不等式时,利用了Orlicz空间理论里的重要范数不等式。紧接着利用了Orlicz空间中的函数在倍权的Young函数作用下的Lebesgue平均测度积分与Orlicz范数存在某种比较关系,得到了算子G°T与p-类Young函数有关的Lebesgue平均测度积分不等式,并且利用了A-调和方程的特解进行了数值估计以及获得了在Lp(μ)-平均域上全局的形式。
　　3.定义了一种作用在微分形式上且其核函数满足Sα-条件的分次积分算子Fα.在此基础上,如果该算子还满足特殊的Orlicz条件(即Lα,-H¨ormander条件),利用了基本不等式证明了分次积分算子Fα的Coifman型不等式,并进一步证明了它的Poincar′e不等式及其在Lp(m)-平均域上的全局的形式以及Lipschitz范数与BMO范数不等式。最后,给出了两个关于分次积分算子Fα的Coifman型不等式的具体应用。

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英文摘要

目录

第1章 绪论

1.1 课题来源及背景

1.2 微分形式基础知识

1.3 Orlicz空间理论基础知识

1.4 本文的主要内容及结构安排

第2章 复合算子的Lp(log L)α-范数不等式

2.1 Lp(log L)α-范数的引入

2.2 复合算子G°P的Lp-范数不等式及应用

2.3 复合算子G°T 的Lp(log L)α-范数不等式

2.4 本章小结

第3章 复合算子与特殊的Young函数有关的不等式

3.1 复合算子与G(p, q,C)-类Young函数有关的不等式

3.2 复合算子G°T 与?p-类Young函数有关的不等式

3.3 本章小结

第4章 一类分次积分算子的相关不等式

4.1 分次积分算子的引入

4.2 分次积分算子Fα的相关不等式

4.3 Coifman型不等式的应用举例

4.4 本章小结

结 论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

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