两类传染病模型的数值格式的全局稳定性

摘要

随着国际交流的不断发展、生态环境污染的加剧以及病原体和传播媒介抗药性的增强，传染病又成为人类必须严肃面对的问题。众所周知，预防远胜于治疗。传染病数学模型是研究传染病流行规律的一种重要方法，是防治工作的重要依据。
　　由于传染病的统计数据不是连续的而是在一定的时间间隔下收集的，且离散系统能够以任意的时间步长为单位，所以离散系统比连续系统能更直接有效地使用统计数据。另一方面，传染病模型通常以常微分方程为基础，而大部分常微分方程的解析解都不易求得，因此，寻求适当的数值方法来获得解析解的有效逼近至关重要。但是，离散后系统的动力学行为通常非常复杂，如何构造能保持原连续系统的动力学行为的数值格式是一项重要的研究课题。
　　本文应用非标准有限差分方法，分别构造了求解一类具有非线性发生率的多种群SIR传染病模型和一类具有分布时滞的多种群SIR传染病模型的数值离散系统，并对离散后的系统的动力学性质进行了研究：证明离散模型无条件地保持了原连续系统解的正性和有界性；并通过构造离散时间的Lyapunov函数，结合最近形成的图论方法，得到了离散模型的平衡点的全局渐近稳定性。本文得到：对任意的步长，当基本再生数小于等于1时，存在唯一的无病平衡点且该平衡点是全局渐近稳定的；当基本再生数大于1时，存在唯一的全局渐近稳定的地方病平衡点，而无病平衡点是不稳定的。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究意义

1.2 国内外研究现状

1.2.1 传染病模型的数值方法的研究现状

1.2.2 多种群传染病模型的研究现状

1.3 本文的主要研究内容

第2章 预备知识

2.1 稳定性的基本理论

2.2 图论知识

第3章 具有非线性发生率的多种群SIR传染病模型的全局稳定性

3.1 引言

3.2 模型的离散化及数值解的正性和有界性

3.3 非标准差分方法离散的系统的全局稳定性

3.3.1 无病平衡点的全局渐近稳定性

3.3.2 地方病平衡点的全局渐近稳定性

3.4 数值算例

3.5 本章小结

第4章 具有分布时滞的多种群SIR传染病模型的全局稳定性

4.1 引言

4.2 连续系统的全局稳定性

4.2.1 无病平衡点的全局渐近稳定性

4.2.1 地方病平衡点的全局渐近稳定性

4.3 非标准差分方法离散的系统的全局稳定性

4.3.1 模型的离散化及数值解的正性和有界性

4.3.2 无病平衡点的全局渐近稳定性

4.3.3 地方病平衡点的全局渐近稳定性

4.4 数值算例

4.5 本章小结

结论

参考文献

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