Banach空间中函数和的最小化问题前后分离算法及收敛率

摘要

Moreau和Yosida分别在1965年和1964年给出了凸函数的一种正则化函数,被人们称为Moreau包络函数或者Moreau-Yosida正则函数.这个正则化函数被广泛应用于解决优化问题和非线性分析问题.特别地,基于其良好的解析性质,学者们给出了许多好的算法,用于处理信号回收、压缩传感等问题,并且在理论研究和数值计算方面都表现出了良好的效果.
　　本文主要以两个函数和的最小化问题为研究对象,借助于Moreau-包络函数和广义渐近投影算子的性质将Hilbert空间中的前后分离迭代算法推广到Banach空间.并研究相关算法的收敛性及收敛速度.本文的主要内容包括如下几部分：
　　1.在Banach空间的框架下研究广义渐近投影算子的基本性质,其中包括Moreau分解定理, Moreau包络函数的可微性以及相关的一些例子,(S)型本质非扩张映射的定义和相关性质.作为应用,我们构造算法去求解一类变分不等式问题的解.
　　2.基于Moreau包络函数构造前后分离算法去逼近两个函数和的最小化问题的最优值或最优解.利用误差条件得到函数值序列的收敛是线性收敛.讨论了前后分离算法发生扰动时最优解的稳定性.讨论一类隐式形式的前后分离迭代算法,在合适的条件下研究该算法的收敛性以及收敛速度.
　　3.借助罚函数,构造一类变分不等式问题的前后分离迭代算法,并做收敛分析.当此变分不等式取特殊形式时,此问题可以化归为两个函数和的最小化问题,并做进一步的收敛分析.

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目录

第1章 绪论

1.1 课题背景

1.2 课题的研究状况及分析

1.3 本文的主要研究内容以及文章结构

第2章 预备知识

2.1 凸函数的定义和性质

2.2 Banach空间一些几何性质

2.3 对偶映射和Lyapunov函数

2.4 Moreau函数和Moreau分解定理

2.5 单调算子和非扩张映射

2.6 本章小结

第3章 渐近算子的性质及其应用

3.1 广义渐近投影算子的基本性质

3.2 渐近算子的应用

3.3 本章小结

第4章 前后分离迭代算法

4.1 关于范数距离的前后分离算法

4.2 前后分离算法的线性收敛性

4.3 基于Bregman距离的前后分离算法

4.4 例子和应用

4.5 扰动的前后分离算法

4.6 前后分离算法的隐式形式

4.7 混合迭代算法

4.8 本章小结

第5章 变分不等式的前后分离迭代算法

5.1 变分不等式的简介

5.2 变分不等式的前后分离算法

5.3 约束优化问题的前后分离算法

5.4 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

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致谢

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