两类分数阶Volterra型积分微分方程的数值解法

摘要

分数阶积分微分的出现发生在基础物理学中，它的出现所带来的新问题使数学家和物理学家对分数阶微积分理论产生了极大的兴趣。因为分数阶微积分方程能够更准确的描述实际现象的动力学行为，因此在工程学和物理学等其他领域都有着很广泛的应用，例如可以应用非线性分数阶微积分来模拟地震的非线性振动，并且在控制学中我们也可以发现分数阶微分(FDES)的身影。但是通常情况下这类方程很难得到解析解，所以求解其数值解就变得非常重要且具有实际应用价值。
　　近几十年来，学者们已经提出了一些数值方法用于求解分数阶积分微分方程，如 Adomain分解法、有限差分法、多项式配置法、小波法等。但理论体系仍需进一步的完善。因此，本文对两类分数阶Volterra型积分微分方程的数值解法进行了探讨，即非线性分数阶 Volterra型积分微分方程和分数阶Volterra型人口增长模型。
　　作为预备知识本文第2章节，介绍了分数阶导数基本定义,再生核理论的基本知识，为下面两部分再生核的应用作铺垫。
　　本文的第3章首先对模型进行了解释说明，其次应用再生核理论求解非线性分数阶Volterra型积分微分方程并得到近似解。最后，由具体的数值算例验证该算法的优越性。
　　本文的第4章主要研究的是分数阶Volterra型人口增长模型的数值解法问题。本文基于再生核理论，对再生核方法进行改进求解此类型的方程，并建立了一套完整的理论体系。最后，数值实验的结果表明本文所提出的算法十分有效且易于操作。

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第1 章 绪 论

1.1 课题来源及背景

1.2 两类分数阶Volterra型积分微分方程研究现状及分析

1.3 再生核理论产生及其应用

1.4 再生核理论的应用

1.5 本文研究的主要内容

第2章 预备知识

2.1 分数阶导数的定义

2.2 再生核空间基本理论

2.3 本章小结

第3章 分数阶Volterra型积分微分方程数值算法

3.1 引言

3.2 求解方法

3.4 数值算例

3.5 本章小结

第4章 分数阶Volterra型人口增长模型数值算法

4.1 引言

4.2 修正后的再生核方法

4.3 收敛性证明

4.4 数值算例

4.5 本章小结

结论

参考文献

读硕士学位期间发表的论文及其它成果

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