延迟型热传导方程两步法的收敛性与稳定性分析

摘要

在现实生活中，学者们发现许多问题不仅仅和它们当前的状态有关，而且和它们过去某一时刻的状态也有着非常密切的关系。因此在用数学模型描述这类问题时，需要加入一个刻画过去状态的量，通常把这个量称作为延迟项，本文主要研究三类热传导方程的两步法。
　　延迟型热传导方程是偏微分方程的重要组成部分，它可以应用到许多领域中。例如电动力学、生态学、自动控制、非线性电力系统、金融等领域，它的出现极大地促进了社会的进步。热传导方程的理论解一般不易求出，人们通常用数值方法求解这类方程。
　　用于求解热传导方程的数值方法有很多，例如边界元法，有限差分法、有限元法。本文用有限差分法对延迟型热传导方程进行数值计算，主要工作可分为两部分。
　　第一部分，推导出双延迟项热传导方程理论解渐近稳定的条件，在延迟型热传导方程理论解渐近稳定的前提下，用两步法求解该方程，并给出差分格式和数值算法渐近稳定的定义，用谱半径方法分析该数值算法的渐近稳定性。最后通过数值算例检验自己的结论。
　　第二部分，在延迟型热传导方程理论解渐近稳定的前提下，用蛙跳方法求解该方程，给出求解方程的差分格式和数值算法渐近稳定的定义，并分析蛙跳方法的收敛性，最后通过数值算例检验自己的结论。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究目的和意义

1.2 国内外研究现状

1.2.1 延迟型微分方程发展现状

1.2.2 有限差分法发展现状

1.3 主要研究内容

第2章 延迟型热传导方程两步法的稳定性分析

2.1 引言

2.2 热传导方程两步法的稳定性分析

2.3 一类带有延迟项的热传导方程两步法的稳定性分析

2.4 一类带有双延迟项的热传导方程两步法的稳定性分析

2.5 数值算例

2.6 本章小结

第3章 带有延迟项热传导方程蛙跳方法的收敛性分析

3.1 引言

3.2 带有单延迟项的热传导方程的蛙跳方法

3.3 带有双延迟项的热传导方程的蛙跳方法

3.4 数值算例

3.5 本章小结

结论

参考文献

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