奇异函数方法与部分特征值问题的研究

摘要

由于许多科学问题终结导致特征值计算问题(例如，求解偏微分方程导致大规模稀疏矩阵问题),所以研究求解特征值问题的方法是计算数学中很重要的课题。因为科学不断发展，要求解的问题越来越复杂，所以求解一些问题时得到的矩阵并不总是数值的矩阵。比如，某些物理问题的模型生成二阶常微分方程组。求解这样的微分方程时，得到二阶的多项式矩阵。
　　关于数值矩阵的特征值问题，已经存在很多不同的方法。但是如果要求解多项式矩阵的特征值问题，这些方法的效率会降低。所以，多项式矩阵的特征值问题需要另外的处理方法。在这方面，计算数学也仍然需要发展，改善已存在的方法和给出新的方法。
　　本论文深入研究了奇异函数方法，该法是在20世纪俄罗斯数学家Nechepu-renko Y. M.给出的，但是这个方法没得到普及。奇异函数方法是迭代法，它利用矩阵奇异向量计算矩阵特征值。为了研究奇异函数方法的效率，把它跟一些现有的方法比较，我们用Matlab系统作的数值实验。数值实验表明，在求解多项式矩阵的部分特征值问题时，多项式矩阵的幂次和矩阵的阶数很大时，奇异函数方法优于现有的其它方法。但是如果多项式矩阵的幂次和矩阵的阶数较小时，奇异函数方法则失去其特殊优点。除了分析奇异函数方法以外，本论文还考虑了一种变型。这个变型能计算属于给定的直线的特征值，例如，可以计算属于实数轴的特征值，即实特征值。如果优化现有的计算程序，奇异函数方法就可以获得更好的结果。

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第1章 绪 论

1.1选题背景及意义

1.2 研究现状

1.2.1 QZ法

1.2.2 Arnoldi法

1.3论文主要研究工作

第2章 奇异函数方法理论

2.1 多项式矩阵有关的基础理论

2.2 奇异函数方法

2.3 方法应用: 求多项式矩阵的特征值

2.4 本章小结

第3章 奇异函数方法与其他的应用

3.1奇异函数方法分析和比较

3.2奇异函数方法的变型

3.3 本章小结

结论

参考文献

声明

致谢