Newmark方法求解二阶微分方程的Hopf分支保持性

摘要

微分方程的分支性质在自然科学和结构工程力学等领域都具有十分重要的应用。随着计算机的飞速发展，越来越多的学者致力于建立能正确反映原系统分支性质的数值方法，并利用这些数值方法对微分方程的分支性质进行仿真。
　　在结构动力学分析和抗震计算中，Newmark方法应用广泛，其在很大程度上依赖于二阶微分方程的动力学性质，尤其是平衡点的稳定性。分支现象有不同的形式，其中Hopf分支在实际应用中具有重要价值。Hopf分支产生在平衡点的邻域内，此时，二阶微分系统必定是结构不稳定的，可见Hopf分支问题与结构稳定性问题有着密切的联系。因此，应用Newmark方法研究二阶微分方程的Hopf分支性质具有重要的意义。
　　本文主要研究Newmark方法对二阶微分方程Hopf分支性质的保持性。具体内容分为如下三个部分：
　　第一，介绍Newmark方法和Hopf分支的背景知识，以及国内和国外的相关学者对数值离散系统Hopf分支性质的研究现状。
　　第二，研究二阶常微分方程Hopf分支与其数值离散系统Neimark-Sacker分支的等价性。应用Newmark方法将连续系统离散，首先证明数值离散系统存在Neimark-Sacker分支。然后，反过来证明当数值离散系统存在Neimark-Sacker分支时，对应的连续系统也一定存在Hopf分支。最后，给出一个非线性二阶微分方程作为数值算例来验证理论结果。
　　第三，对存在Hopf分支的二阶时滞微分方程，用Newmark方法将其离散，将时滞视为参变量，研究数值离散系统存在Neimark-Sacker分支，说明Newmark方法能够保持原系统的Hopf分支性质，并证明闭的不变曲线的稳定性。最后，选取了一个具体的二阶时滞微分方程，检验主要结果的有效性。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究的目的和意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文的主要研究内容

第2章 Newmark方法对常微分方程Hopf分支的保持性

2.1二阶常微分方程的Hopf分支存在性

2.2 Newmark方法对常微分方程Hopf分支保持性

2.3 Neimark-Sacker分支与Hopf分支等价性

2.4 数值算例

2.5本章小结

第3章Newmark法对时滞微分方程Hopf分支保持性

3.1二阶时滞微分方程的线性化分析

3.2 二阶时滞微分方程稳定性分析

3.3 闭的不变曲线的稳定性

3.4 数值算例

3.5 本章小结

结论

参考文献

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