一类分次偏序集Laplace算子特征值的计算

摘要

众所周知，同调代数是一门重要的数学分支。在群论，交换代数，代数拓扑，代数几何，微分几何，微分拓扑，代数数论以及偏微分方程等学科领域都可以找到同调代数的身影。同调理论及应用问题的研究也一直受到诸多学者的关注。
　　Laplace方法是研究同调问题的重要工具之一。半个世纪以来，大量论文对同调问题的Laplace算子的特征值，特征值估计，最大（小）特征值等进行了比较系统的研究。其中，特征值的计算是大家最为关心的。
　　本文首先介绍用Laplace方法研究上同调问题的背景及国内外研究现状。然后介绍偏序集，Hasse图，关联代数以及上同调的定义等必要的预备知识。在此基础上，我们考虑集合此处公式省略：上的一类偏序结构。以该分次偏序集对应的Hasse图为基础，定义三个实数域上的线性空间R(V),R(E),R(F).紧接着，利用上同调的观点分别定义两个线性映射Z:R(F)-R(E)与Y:R(E)-R(V).可得到如下复形此处公式省略：进而可以定义相应的三个Laplace算子：此处公式省略：最后，对三个算子的特征值进行完整的计算。