再生核空间中的小波分析方法及其应用

摘要

小波分析是在小波变换的基础上逐渐发展而成的一门新兴学科。它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。而小波变换作为小波分析的基础，对其进行比较深入的讨论具有理论意义和实际价值。 本文通过建立L2[0，1]和H1[0，1]的同构映射，在再生核H1[0，1]空间中得到了多尺度分析方法，且嵌套性成立；同时给出了H1[0，1]的小波逼近公式和相应的采样公式。从而为在再生核空间中利用小波理论解决实际问题提供新的框架。本文的主要研究结果如下： 第一，针对再生核空间H1[0，1]，给出H1[0，1]空间中再生核函数的解析表达式，借助L2[0，1]空间中的多尺度分析(MRA)方法，建立再生核H1[0，1]空间中的多尺度分析(MRA)方法，给出该空间的小波逼近方法和采样定理。 第二，构造二维张量积空间H1(Ω)，并证明该空间具有再生核；在再生核空间H1(Ω)中，建立多尺度分析，获得该空间的一个标准正交基，使得再生核空间H1(Ω)可以由小波空间来刻画，进而得到小波级数和相应的采样公式，而且给出的小波级数形式简单易于数值分析，进一步完善了有限区间上的多尺度分析方法。 第三，利用小波变换像空间与再生核空间的联系，给出两个典型的小波变换的像空间中再生核函数的解析表达式，并给出等距恒等式。然后对这个像空间进行具体描述。即分析小波变换像空间的结构，给出相应的采样公式，使得任意一点的小波变换都能用再生核函数进行重建，并进一步讨论采样公式的收敛性及误差估计。 第四，将在再生核H1[0，1]空间中建立的的多尺度分析(MRA)方法应用到线性二次调节器最优控制问题中，利用H1[0，1]空间中的多尺度分析方法和Haar小波基，小波基函数作为正交函数来构造算子矩阵，求解Riccati方程。小波逼近的优点在于将非线性微分方程变成非线性代数方程，简化了线性二次最优控制问题的讨论。

目录

文摘

英文文摘

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第1章绪论

第2章多尺度分析

第3章再生核空间理论

第4章再生核空间中的多尺度分析

第5章小波变换像空间的描述

第6章再生核空间中的小波分析方法在最优控制中的应用

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢

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