关于非负张量谱半径和主特征向量的研究

摘要

张量理论是数学的一个重要分支，在力学和物理学中有重要的应用。近年来，随着量子计算、机器学习、人工智能等领域的兴起，张量理论中一些新问题引起了学者的关注，如张量的特征值、超图张量表示下的谱等。
　　2005年，香港理工大学祁力群教授和芝加哥大学Lek-Heng Lim教授分别给出了张量特征值的定义。2008年，北京大学张恭庆教授将非负矩阵的Perron-Frobenius理论系统地推广到非负张量。近年来随着张量谱理论的发展，许多学者开始用张量研究超图谱理论。2012年，J.Cooper和A.Dutle给出了一致超图邻接张量的概念。祁力群在2014年给出了一致超图拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量的定义。此后，张量特征值的相关问题受到许多学者的广泛关注。2012年，俄罗斯科学院院士Kolotilina用矩阵的伴随有向图刻画了非负矩阵谱半径的界。本文把这个结果推广到非负张量，并研究了非负弱不可约张量主特征向量的一些结果，主要工作如下。
　　本文首先用张量的伴随有向图，给出了非负弱不可约张量谱半径的界。对非负弱不可约张量T，谱半径ρ（T）是其特征值，并且存在唯一的正特征向量和它对应。这个正特征向量的最大分量和最小分量的比值称为T的主比率，本文给出了T的主比率的一个下界，以及主特征向量最大、最小分量的一些界。并将无符号拉普拉斯张量作为应用给出了一致连通超图无符号拉普拉斯张量主比率和主特征向量最大、最小分量的一些界。
　　超图对应张量的特征值和超图结构的关系是超图谱理论研究的核心问题。近年来，超图谱理论受到许多学者的广泛关注。本文用图参数，如顶点的度、边数、直径等刻画了一致连通超图无符号拉普拉斯张量谱半径的一些界。

目录

声明

摘要

第1章绪论

1．1张量的研究背景

1．2张量的研究现状

1．3本文的工作

第2章张量和超图谱

2．1非负矩阵基础知识

2．2张量基础知识

2．2．1张量的特征值

2．2．2张量的运算

2．2．3非负张量的相关结论

2．3图谱和超图谱

2．3．1图谱

2．3．2超图谱

2．4本章小结

第3章非负张量谱半径的界

3．1引理

3．2主要结果

3．3本章小结

第4章非负张量的主特征向量和谱半径

4．1非负弱不可约张量的主特征向量

4．2无符号拉普拉斯张量的主特征向量

4．3无符号拉普拉斯张量的谱半径

4．4本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢