基于Lancaster结构的二阶系统解耦变换求解方法研究

摘要

二阶系统通常是指用二阶微分方程所描述的系统。在控制系统等应用领域中二阶系统的存在尤为广泛。在一定的条件下，许多高阶系统往往都可以转化为二阶系统来研究。因此，对于二阶系统的研究具有重要的实际意义。而对于二阶系统的研究人们往往需要对系统方程进行解耦。即选取适当的坐标变换将一个多变量相互耦合的二阶系统转化为多个独立的单个变量的系统来研究，解除变量之间的相互影响。二阶系统解耦主要涉及到将三个矩阵同时对角化的工作，但是在理论中三个矩阵同时对角化一般是很难实现的。然而在数值领域中，几乎对所有的二阶系统都可以利用Lancaster系统的块阵同时对角化来实现三个矩阵的对角化，从而实现二阶系统的解耦。
　　本文主要研究基于Lancaster系统的解耦变换的求解方法。首先，将二阶系统解耦变换的求解转化为齐次Sylvester方程非奇异解的求解，基于Jordan分解理论和系统的同谱性构造齐次Sylvester方程非奇异解的方法，并通过选取适当的参数获得非奇异复数解。在此基础上，使用MATLAB进行数值实验，给出任意齐次Sylvester方程非奇异复数解的构造方法，并证明了方法的可行性。其次，根据实矩阵在复数域内相似则一定在实数域内也相似的原理，由非奇异复数解构造相应的非奇异的实数解。最后对于实数解的非奇异性进行研究，为了提高实数解的非奇异性，选取使得矩阵条件数较小的参数。由于参数不是一个定值，很难求出具体的特征值和具体的表达式，因此应用上受到了极大的限制。通过引入矩阵非正交度代替条件数，矩阵的非正交度是矩阵的标准行列式的绝对值的倒数。非正交度可以求出具体的表达式，利用非正交度，给出了理论的证明，而且通过MATLAB画出条件数与非正交度随参数变化的图像，证明利用非正交度选取参数的可行性。
　　本文给出了二阶系统解耦变换的一种求解方法，在理论和数值领域都取得了一定的进展。不但对于二阶系统的解耦研究加以完善，还简便了非奇异解的求解。

目录

声明

摘要

第1章绪论

1．1论文研究背景

1．2论文研究意义

1．3国内外研究现状和存在的问题

1．4论文的主要研究内容和结构

第2章基于Lancaster结构的二阶系统解耦理论

2．1二阶系统解耦的简介

2．1．1 Lancaster结构的简介

2．1．2保Lancaster结构变换

2．1．3保Lancaster结构的系统解耦

2．2．1矩阵的Kronecker积

2．2．2矩阵的拉直

2．2．3基于Kronecker积的齐次Sylvester方程的非奇异解

2．3本章小结

第3章基于Sylvester方程的解耦变换复数解

3．1齐次Sylvester方程的问题推导

3．2．1矩阵方程PX+XQ=0的非奇异解的构造

3．2．2矩阵方程PX+XQ=0的非奇异复数解的构造

3．3数值实验

3．4本章小结

第4章齐次Sylvester方程的非奇异实数解

4．1矩阵方程PX+XQ=0的非奇异实数解

4．2矩阵的条件数

4．3矩阵的条件数改进

4．4数值实验

4．5本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢

附录