图像恢复背景下几类微分方程理论问题研究

摘要

图像恢复是数字图像处理中的一个重要组成部分，是利用受损区域附近的有用信息来修复受损区域信息的技术，常用于修复小的受损区域、文字删除以及目标隐藏。基于偏微分方程的图像恢复技术是近些年在图像处理和分析领域得到快速发展的一类新的图像处理技术。由于它能克服经典图像恢复方法中难以处理的一些技术困难，如今已成为图像恢复的一个热点研究领域。它的基本思路是将图像处理问题转化成某个能量泛函的极小化问题，通过寻找能量泛函的极小化点，去获得原始图像处理问题的解。
　　本文研究了几类变分泛函的极小化问题，运用泛函分析理论、偏微分方程基本理论和非线性分析理论与方法，针对几类变指数偏微分方程和分数阶偏微分方程解的存在性、多解性等理论展开了研究。具体地，本文的研究结果包括下面五个方面:
　　1.四阶非线性变指数特征值问题。本章考虑了两种位势情况:1）不定位势;2）零位势。两种情况下均获得了类似的研究成果。首先，利用Weierstrass定理和一些不等式技巧，估计出满足λ0≤λ1的两个正常数λ0和λ1的存在性;其次，刻画了该变指数特征值问题的谱结构，即，对任意的λ∈[λ1，+∞）都是一个特征值，而对任意的λ∈(0，λ0)都不是上述问题的特征值。同时，引入一个有趣的问题，当λ0≠λ1时，区间[λ0，λ1）中点是否是此问题的特征值？
　　2.全空间RN上含p(x)-Laplacian算子的椭圆偏微分方程。众所周知，解决RN中的变指数椭圆问题的主要困难在于Sobolev嵌入定理的紧性缺失，为了克服这个困难，许多学者一直致力于这方面的研究，比如，径向对称技术[95-96]，位势函数[97-99]等等。而在本章，关于位势V的要求，既不需要引入强制性假设，也不需要引入径向对称假设。当非线性项F(x，u)在无穷远点附近满足次线性增长时，研究了无穷多个非平凡解的存在性。
　　3.具有类p(x)-Laplacian算子的超线性问题。在这部分，假设非线性项是超线性但不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件，但此时对应的Euler-Lagrange变分泛函确不是下方有界的，很多非线性分析技术不能使用。本文使用(C)条件下的山路几何定理证明:对任意的λ＞0，存在序列{λn}∞n=1(C)R和一致有界的序列{un}∞n=1(C)W1,p(x)0(Ω)使得λn→λ，cλn→cλ，Iλn(un)→cλn和I'λn（un）→0，进而甜是Iλ对应于临界值cλ的临界点。根据这样的思路，对任意的λ＞0，此问题都至少存在一个非平凡的解。
　　4.具有p(x)-Laplacian算子Kirchooff型偏微分方程。由于变分法诱导出能量泛函不具有下方有界性，所以通过fibering映射的局部极小值、局部极大值和拐点，将Nehari流形N（λ）分为三个集合，并结合变分泛函在其上的下方有界性，研究此问题至少存在两个正解。
　　5.具有分数阶导数的Laplacian算子的非线性椭圆方程。通过傅里叶变换，引入了分数阶导数的Laplacian算子。首先，利用变化了的三临界点定理证明了该类问题在空间Hα(Ω)中至少三个解的存在性。其次，结合Weierstrass定理和山路定理，对2＜μ＜2*α情况，获得了此问题至少两个非平凡解的存在性。

目录

摘要

1 绪论

1．1 课题背景

1．2 文献综述

1．2．1 变指数微分方程在图像恢复领域的研究现状

1．2．2 分数阶微分方程在图像恢复领域的研究现状

1．3 本文的主要研究工作

2 预备知识

2．1 变指数空间Lp(x)(Ω)和W1,p(x)(Ω)

2．2 分数阶函数空间及相关性质

2．3 非线性分析理论

2．4 本章小结

3 具有非齐次微分算子的四阶变指数特征值问题谱分析

3．1 空间结构建立和主要结果

3．2 定理3．1 的证明

3．3 定理3．2 的证明

3．4 此时，则称λ是问题(3-1)的特征值，则相应的本征函数u∈X1\{0}是问题(3-1)的弱解

3．5 本章小结

4 全空间上含p(x)-Laplacian算子的椭圆问题的无穷多解

4．1 空间结构构建和主要结果

4．2 主要结果的证明

4．3 本章小结

5 不含AR条件的类p(x)Laplacian算子的超线性问题

5．1．1 变分泛函以及相关性质

5．1．2 一些引理以及主要定理

5．2 本章小结

6 一类p(x)基尔霍夫型椭圆问题的正解存在性

6．1 变分结构及性质

6．2 主要引理及其证明

6．3 定理6．1 的证明

6．4 本章小结

7 一类具分数阶Laplacian算子的非线性椭圆问题多解性

7．1 空间结构建立和主要定理

7．2 足理7．1 的证明

7．3 定理7．2 的证明

7．4 本章小结

结论

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

致谢

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