一类具粘性非线性波动方程解的能量衰减和解的爆破

摘要

本文分四章:第一章为引言;第二章研究一类具粘性非线性波动方程解的能量衰减;第三章研究上述方程局部解的存在性和唯一性;第四章证明上述初边值问题解的爆破,并给出爆破的充分条件.
　　在第二章中我们研究一类具粘性非线性波动方程的初边值问题解的能量衰减,其中μ>0,δ>0,p≥1,q>1是常数,Ω=(0,1),QT=Ω×(0,T).u(x,t)表示未知函数,σ(s)是给定的非线性函数,u0(x)和u1(x)是已知的初值函数,下标x和t分别表示对x和t求偏导数.结果如下:
　　定理1设下列条件成立:
　　(1)σ(s)∈C1[0,∞)和存在常数Ki>0(i=1,2,3),使得0≤σ(v2)≤K1,|σ’(v2)|v2≤K2(σ’(s)=d/dsσ(s))和对于v,v1∈R,|σ(v12)-σ(v2)||v|+|σ(v2)-σ(v12)||v1|≤K3|v-v1|;
　　(2)10.
　　其中K4>0和μ>0是常数.如果q≤p,则问题(1)-(3)存在唯一整体广义解u(x,t)满足和对于任意的w∈L2(0,T;H01(Ω))∩Lp+1(QT)成立为了得到问题(1)-(3)解的能量衰减引入以下要用到的引理.引理1[9]设h(t)是定义在R+=[0,∞)上的一非负可导和非增的函数,且对于0≤s0为常数.则对任意的t≥0成立其中C是仅依赖于h(0)的常数.
　　定理2设定理1成立和u(x,t)是问题(1)-(3)的广义解.若p=q=5,σ(v2)v2>和μ>0满足,则成立其中C>0是仅依赖于E(0)的常数.注1满足条件σ(v2)v2>的函数σ(v2)是存在的,例如σ(v2)=1/√1+v2.在第三章中我们研究了问题(1)-(3)局部广义解的存在性和唯一性.我们首先利用Galerkin方法证明下列线性初边值问题解的存在性和唯一性.
　　结果如下:定理3设u0∈H2(Ω),u1∈H1(Ω),f∈C([0.T];L2(Ω)),则问题(1)-(3)存在唯一广义解u∈C([0,T];H2(Ω)),ut∈C([0.T];H1(Ω))∩H2(QT),utt∈L2(QT)具有估计其中C(T)表示依赖于T的常数.应用压缩映射原理证明问题(1)-(3)局部广义解的存在性和唯一性.
　　结果如下:定理4设u0∈H2(Ω),u1∈H1(Ω),σ∈C2(R),p≥1,q>1,μ>0,δ>0,如果T相对M充分小,则S:P(M,T)→P(M,T)是严格压缩的.在第四章中我们证明初边值问题(1)-(3)的解在有限时刻发生爆破.
　　结果如下:定理5假定(1)δ>0,μ>0,1≤p<2,且q>p/2-p,(2)sσ(s)≤K(s),(s)≤-α|s|,这里于(s),K>2,α>0是常数,则问题(1)-(3)的广义解在有限时刻爆破,即当t→T-.

目录

摘要

Abstract

第一章 引言

第二章 小初值初边值问题(1.1)-(1.3)解的能量衰减

第三章 大初值初边值问题(1.1)-(1.3)

1 线性问题解(3.1)-(3.3)局部广义解的存在性和唯一性

2 初边值问题(1.1)-(1.3)局部广义解的存在性和唯一性

第四章 大初值初边值问题(1.1)-(1.3)解的爆破

参考文献

致谢