高阶非协调元及各向异性有限元的研究

摘要

本文对板问题,Stokes问题和纯位移平而弹性问题作了研究.给出了多种有限元,混合元计算方法,分析了方法的收敛性和收敛阶的估计,并且给出了部分数值试验的算例.传统有限元的收敛性要求具备正则性条件,即存在与单元K和剖分无关的常数c,使得≤C,其中h_K和ρ_K分别是单元K和K的最大内切球直径.事实上,这种要求对有限元空间不是必需的,最近出现了很多这方面的研究,即研究满足什么条件,单元的收敛性与无关,也就是各向异性有限元的研究.
　　Apel Zenisek等人在这些方向有一些研究结果,本文是对Apel的方法进行改进,给出了一种更容易操作的方法.对于纯位移平面弹性问题,本文构造了一个高阶矩形单元.详细地给出了如何构造单元,证明单元的适定性,及误差估计的最优收敛阶的证明.Stokes问题是混和变分形式,压力与速度同时计算,关于这个问题的研究很多,本文对二维空间Stokes问题研究了两类各向异性平行四边形混合有限元逼近格式,给出了各向异性的插值误差估计,相容误差估计和LBB条件成立的证明.从而证明了问题在不满足正则性或拟一致条件下的收敛性.板问题是有限元方法中研究研究比较多的问题之一,剖分正则性是不可避免的前提,本文利用双参数法构造了一个8自由度12参数的矩形单元,证明了该元的最优各向异性误差估计.

目录

摘要

Abstract

前言

第一章 预备知识

§1.1 Sobolev空间

§1.2 泛函分析中的一些定理

§1.3 有限元方法中的基本概念和定理

§1.4 混合元理论

§1.5 双参数元的基本理论

§1.6 各向异性插值定理

第二章 纯位移平面弹性问题的一个高阶非协调元

§2.1 构造单元

§2.2 误差分析

§2.3 L~2模估计

§2.4 数值算例

第三章 Stokes问题的一种各向异性元求解格式及误差分析

§3.1 引言

§3.2 有限元空间及各向异性插值特征

§3.3 离散格式及各向异性误差估计

§3.4 相容误差的超收敛分析

第四章 Stokes问题各向异性平行四边形非协调元及其应用

§4.1 引言

§4.2 有限元空间的构造

§4.3 各向异性误差估计

§4.4 数值算例

第五章 求解板问题的双参数各向异性元方法

§5.1 双参数各向异性矩形板元

§5.2 各向异性剖分时离散问题的收敛性

§5.3 数值算例

参考文献

攻读博士学位期间已发表或已完成的文章

致谢