一类涉及分数阶Laplacian的非线性方程和方程组解的对称性及不存在性

摘要

本文主要研究分数阶Hénon方程（-△）α/2u(x)=|x|γup(x)， x∈Rn，(0-1)在全空间Rn上正解的对称性，单调性，其中，0＜α＜2，γ＞0.并在该方程的基础上分析半空间Rn+上方程组{（-△）α/2u1(x)=xγnuα111(x)uβ12(x), x∈Rn+，（-△）α/2u2(x)=xγnuα21(x)uβ22(x)，x∈Rn+，(0-2)u1(x)=u2(x)=0, x(∈) Rn+，正解的不存在性.
　　本文的结构安排如下:
　　第一章，首先介绍分数阶Laplace算子正解的径向对称性，不存在性的研究背景以及本文研究问题的来源.接下来给出了一些预备知识.
　　第二章，首先给出本节中所要用到的定义，定理等.接下来用极值原理和liouville定理证明了分数阶Hénon方程(0-1)与其对应的积分方程的等价性.最后我们用积分形式的移动平面法和Kelvin变换证明了次临界情况下方程(0-1)的正解关于原点的对称性和单调性.
　　第三章，用Kelvin变换和积分形式的移动平面法证明了方程组(0-2)与其对应的积分方程组的等价性.然后在临界和次临界情况下对积分方程组建立了Liouville型定理，即是正解的不存在性.

目录

摘要

第一章 引言

§1．1 研究的背景

§1．2 分数阶Laplace算子的预备知识

§1．3 问题的提出

第二章 Rn上分数阶Hénon方程正解关于原点的径向对称性和单调性

§2．1 预备知识、定理

§2．2 分数阶Hénon方程与积分方程等价性的证明

§2．3 分数阶Hénon方程正解的径向对称性和单调性的证明

第三章 Rn+上分数阶非线性方程组正解的不存在性

§3．1 主要结果和定理

§3．2 Rn+上分数阶非线性方程组与积分方程组的等价性

§3．3 Rn+上分数阶非线性积分方程组的Liouville型定理

§3．3．1 定理3．4．的证明

§3．3．2 定理3．5．的证明

参考文献

致谢

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