带新NCP函数的乘子法

摘要

约束非线性规划问题在自然科学领域、经济领域、工程领域等都有很广泛的应用，它是研究在有约束的条件下，寻找问题最优解的计算方法。所以，在最优化领域里，对求解约束非线性规划问题的方法的探索，已经成为学者研究的最新热点和新潮。近几年，对此问题的研究发展迅速，产生了许多新的算法，如，罚函数法、滤子算法、信赖域算法、QP-free算法和本文研究的增广 Lagrange乘子方法等。
　　将有约束非线性规划问题转化成无约束问题求解的方法是解有约束非线性规划问题的一类重要手段。其目的是用一些无约束的子问题来代替原约束问题然后来求解。乘子方法是此类方法之一，也叫做增广Lagrange函数法。其过程是结合目标函数和约束函数构造一个新的函数，这个新的函数称为增广Lagrange乘子函数S(x,?,?,C,D)，那么就把约束问题转化成了无约束问题，然后再来求解无约束问题以得到原问题的解，其中C和D是正参数。当C、D充分大时，原问题的解与构造的增广Lagrange函数的解之间有很好的一一对应关系。最初，Hestenes和Powell分别独立提出了近似增广Lagrange函数，用近似增广Lagrange函数来求解等式约束非线性优化问题。然后，Rockafel将近似增广Lagrange函数推广到了带不等式约束优化问题中，进而得到了求解一般约束优化问题的增广Lagrange函数，被称之为经典增广Lagrange函数。
　　本文提出的乘子法主要是针对带有不等式约束规划问题，利用非线性互补函数（NCP函数）构造增广Lagrange函数，将原来的不等式约束问题转化为等式约束，且两者之间是等价的。并提出相对应的算法，在适当假设条件下证明了这种方法的收敛性且讨论了局部最优解和全局最优结果。
　　第一章，介绍了非线性规划的一些基础知识、研究概况及当前研究现状出现的研究方法。然后介绍了NCP函数知识及其性质。
　　第二章，介绍了非线性互补（NCP）函数中具有经典形式的F-B NCP函数，提出了一个带F-B非线性互补（NCP）函数的增广Lagrange函数，将不等式约束问题转化为无约束问题，并在适当假设条件下讨论了它的性质，证明了它与原问题的等价性，同时给出算法并证明了算法的收敛性。
　　第三章，在F-B非线性互补（NCP）函数的基础上构造一个新的非线性互补（NCP）函数，利用Dipillo型Lagrange乘子函数与新的NCP函数结合得到新的增广Lagrange函数，分析了增广Lagrange函数在K-K-T点处的性质，证明求得的解与原问题解的等价性，同时提出算法，并证明了算法的收敛性。
　　第四章，除了F-B NCP非线性互补函数以外，又对3-分片和4-分片线性NCP函数进行了描述和性质分析，利用这两个线性NCP函数也能构造增广Lagrange函数。
　　第五章，对本文的内容进行总结，并补充了Lagrange乘子函数的构造和NCP函数的构造在更多方面的延展。

目录

声明

第1章 绪论

1.1 引言

1.2 非线性规划问题概述

1.3 相关概念和定义

1.4 预备知识

1.5 增广Lagrange乘子方法发展

1.6 NCP函数

1.7 本文主要工作

第2章 带NCP函数的Lagrange乘子方法

2.1结合F-B NCP函数的增广Lagrange函数

2.2 算法

2.3 收敛性

第3章 构造新的NCP函数

3.1 新的NCP函数

3.2 带新NCP函数的Lagrange函数

3.3 最优解的等价性

3.4 算法及算法的收敛性

第4章 讨论

4.1 其他NCP函数

第5章 结论

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果