超空间上Dirac型方程解的性质

摘要

超空间既包含可交换变量又包含反交换变量(Grassmann代数的生成元),其分别刻画了量子力学中玻色子(bosons)和费米子(fermions)的性质,创立于上世纪后半叶。因此,超空间及其相应的超流形广泛应用于理论物理学中,产生了如超弦论,超引力论等,据我们了解,F.A.Berezin等学者从代数几何学的角度研究超空间.B.DeWitt等学者从微分几何学的角度研究超空间。近年来,F.Sommen和H.DeBie等学者从函数理论的角度研究超空间，他们在超空间上建立了Clifford分析的基本框架。在F.Sommen等学者工作的基础上,我们主要研究了超空间上Dirac方程解及其相关函数的基本性质,以及超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开及其相关内容。本研究分为五个部分：
　　第一章,介绍了本文的研究背景及其主要结果，超空间包含反交换变量,是欧氏空间Rm的推广.据我们所知,历史上,研究超空间的数学方法主要有两种,其一,利用代数几何学的理论,在超空间上引入阶层代数,研究带有层结构的微分流形。其二,利用微分流形的理论,在超空间上定义超微分流形.这两种方法在某种意义下是等价的.近来,F.Sommen等学者在超空间上引入Clifford代数,将Clifiord分析的理论推广到超空间上.Clifford分析是定义在欧氏空间Rm上取值在Clifiord代数中的超复函数理论.相应的,他们研究定义在超空间Rm12n上取值在标量代数和Clifiord代数(标准正交Clifford代数和Weyl代数)张成的代数中的函数理论.他们在超空间Rm│2n上定义了广义的微分算子,如超Dirac算子,超Laplace算子及超Euler算子等.构造了超Dirac算子及其高阶Dirac算子的基本解.引入Berezin积分,定义超空间上的积分.Clifford分析主要的内容之一是研究Dirac方程的解(即正则函数)的性质,如Stokes定理、Cauchy-Pompeiu公式、Morera定理、Painleve定理、唯一性定理等.相应的,他们证明了超空间上的Stokes定理、Cauchy-Pompeiu公式、正则函数的Morera定理等基本定理。在此基础上,我们进一步研究了超空间。
　　第二章,我们讨论了超空间上Dirac方程解及其相关函数的基本性质.首先给出了超空间及其相关定义:向量元,函数空间的定义;广义微分算子的定义;广义积分的定义.其次,利用超空间上正则函数Morera定理,得到了超空间上正则函数的Painleve定理从而扩大了正则函数的定义域;应用超空间上的Fischer分解,得到了超空间上的唯一性定理;由超Dirac算子的定义,得到了超空间上Cauchy-Riemann型方程;运用超空间上算子之间的交换准则(超空间上常用的运算准则),得到了超空间上的调和函数构造正则函数、超空间上正则函数和调和函数的关系、κ-正则函数(κ阶Dirac方程的解)和正则函数的关系、κ-调和函数(κ阶Laplace方程的解)和调和函数的关系;由超空间上Stokes定理,得到了超空间上的高阶Cauchy-Pompeiu公式.特别的,当函数f(x)是κ-正则函数时,它就是超空间上κ-正则函数的Cauchy公式。
　　第三章,受H.Malonek和任广斌等学者研究Clifford分析中的Almansi展开启发,我们研究了超空间上的κ-正则函数的Almansi型展开及其应用。超空间上Almansi型展开即将κ-正则函数写成正则函数和相应的x幂次的乘积的有限和的形式,从而建立两类函数之间的联系,为超空间上κ-正则函数的问题转化为正则函数,正则函数的结论推广到κ-正则函数奠定基础.为了得到超空间上κ-正则函数的Almansi型展开,我们做了以下准备工作:首先,定义了星型域上的积分算子,微分算子(超Euler算子的推广).其次,证明这两个算子的互逆关系.然后,讨论了它们保持函数的正则性。最后,证明了在正则函数情形下,高次超Dirac算子,算子xκ,以及积分算子复合后是恒等算子.在这些准备工作的基础上,证明这个结论的关键是把要证明的结论转化为κ-正则函数空间的直和分解问题,即κ-正则函数空间分解成正则函数空间和相应幂次向量元乘积形成的空问的直和。此外,我们还讨论了κ-正则函数的Almansi型展开的应用:得到了多重调和函数空间的分解;得到了超空间上齐次多项式函数在星型域上的Fischer分解(球调和函数理论的基础);由上一章中正则函数的Painleve定理和唯一性定理,得到了超空间上κ-正则函数的Painleve定理和唯一性定理。
　　第四章,我们通过构造超空间上微分算子的O-normalized系,讨论了超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开.B.A.Bondarenko,V.V.Karachik,任广斌等学者先后研究了关于微分算子的函数f-normalized系,并将其用来研究Almansi展开,偏微分方程及边值问题.我们在超空间上定义积分算子,建立此积分算子和微分算子(超Euler算子的推广)之间的联系,从而构造了超空间上Laplace算子O-normalized系.运用此系得到了超空间上的多重调和方程解的Almansi型展开,从而建立超空间上κ-调和函数和调和函数之间的联系.建立了Dirichlet问题(调和方程的边值问题)和Riquier问题(多重调和方程的边值问题)的联系,使得要解决Riquier问题只要解Dirichlet问题即可.此外,我们得到了超空间上的Helmholtz方程的形式解.由于Dirac算子是Laplace算子的因子,因此我们经过更为复杂的运算,得到了超空间上Dirac算子O-normalized系,由此得到κ阶Dirac方程解的Almansi型展开,以及得到了与Helmholtz方程相对应的,修正Dirac方程的形式解.当级数收敛时,此解是古典解。
　　第五章,运用Teodorescu算子相关的Ti算子的性质,我们得到了超空间上κ阶Dirac方程解的拟Almansi型展开.Treodorescu算子,简称为T算子,是一类奇异积分算子.在复平面上,它又是Cauchy-Riemann算子的(右)逆算子.T算予是经典Vekua理论的重要组成部分。Vekua理论被广泛应用于弹性力学、薄壳理论以及空气动力学等.国内外一些学者先后研究了复平面上的以及高维复空间上的T算子的性质,四元数分析中的T算子的性质,Clifford分析中T算子的性质.特别是,H.Begehr,张忠祥等学者在Clifford分析中定义了Ti算子(T算子的推广)并讨论其基本性质.我们利用Berezin积分,定义了超空间上的Ti算子,建立了Ti算子与Cauchy型积分之间的联系;给出了Ti算子与Ti-1算子之间的关系;得到了非齐次κ阶Dirac方程的解;最后也是最重要的结论是得到了超空间上κ阶Dirac方程解的拟Almansi型展开,即将超空间上的κ-正则函数写成Ti算子作用在相应正则函数的有限和的形式,其中正则函数可由已知的κ-正则函数得到.进一步,我们还得到了实现此展开的充要条件.同理,我们又定义了Ⅱi算子,考虑了超空间上后阶Laplace方程解的拟Almansi型展开,超空间上的κ-调和函数展开成Ⅱi算子作用在相应调和函数的有限和的形式。