数学物理中若干非线性微分方程的精确解

摘要

随着计算机代数理论的发展,众多物理学家、数学家和计算机科学家都相继投入到非线性数学物理方程精确解的构造这一非线性科学领域的主要研究方向上来.由于对非线性微分方程没有统一的求解方法,因此近五十年来一些特殊的方法相继被提出.利用计算机代数理论开发的符号计算软件如Mathematica和Maple等被广泛应用,并结合特定的展开方法开发出了软件包,使得某些特定形式的解的构造机械化了.但是这些方法大多没有考虑其深层的理论基础,也很少考虑方法本身的局限性.同时某些新方法的应用还有待于进一步的推广.本文就是针对这些问题展开了比较系统的研究,并在具体的计算过程中,对于某些困难的非线性代数方程组的求解使用了Mathematica软件,这也是计算机技术在数学物理中的重要应用.首先讨论了射影Riccati方程方法.通过研究各种射影Riccati方程方法,给出了这一方法的统一格式,并且研究了这个方法的数学基础,指出了射影Riccati方程方法的局限性.通过几个定理的形式,指出对于某些秩非齐次的非线性微分方程,射影Riccati方程方法是不适用的.作为该方法可以应用的例子,讨论了BBM-Burgers方程的求解.其次,利用刘成仕提出的多项式完全判别系统方法求出了五个非线性数学物理方程(组)的精确解,将带有任意阶非线性项的混合KdV方程、非线性耦合标量场方程、2+1维Bousenisq方程、Maccari's方程组和(2+1)维广义Hirota方程约化成初等积分形式,再利用多项式完全判别系统求出精确行波解,有些甚至得到了所有的精确行波解,其中许多是新解.最后,利用刘成仕提出的试探方程法求出了两个非线性数学物理方程的精确解,即1+1维Camassa-Holm方程和Jaulent-Miodek方程,这两个方程是不易或不能直接化成初等积分形式的.利用试探方程将所求方程约化为初等积分形式,进而得到所求方程的精确解,这些解中含有其它方法从未得到过的新解.

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创新点摘要

引言

第1章射影Riccati方程方法的统一格式及其应用

1.1射影Riccati方程方法的统一格式

1.2射影Riccati方程方法统一格式的主要结论

1.3椭圆方程Ф″(ξ)+k1Ф(ξ)+k3Ф3(ξ)=0的解的讨论

1.4对BBM-Burgers方程的应用

第2章利用多项式完全判别系统方法求非线性数学物理方程(组)的精确解

2.1带有任意阶非线性项的混合KdV方程新的精确行波解

2.2非线性耦合标量场方程新的精确行波解

2.3 2+1维Bousenisq方程的精确行波解

2.4 Maccari's方程组的所有包络行波解

2.5(2+1)维广义Hirota方程的所有包络行波解

第3章利用试探方程法求非线性数学物理方程的精确解

3.1 1+1维Camassa-Holm方程的精确行波解

3.2用试探方程法求Jaulent-Miodek方程的新的精确行波解

结论

参考文献

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