关于Cowen-Douglas算子的相似性与曲率的研究

摘要

算子的酉等价和相似等价问题是算子理论的一个基本问题，寻找算子的完全相似不变量是算子理论的核心问题之一，但是要找到任意两个有界线性算子的完全相似不变量几乎是不可能的，所以人们只能考虑相对特殊的算子类.虽然M.J.Cowen和R.G.Douglas已经证明了曲率是Cowen-Douglas算子的酉不变量，但是曲率与Cowen-Douglas算子的相似等价有什么关系并不知道，因此本文对Cowen-Douglas算子的相似性与曲率的关系进行了研究.通过研究指标为1的Cowen-Douglas算子B1(D)的曲率的关系来刻画这类算子的相似性.本文将定义B1(D)的一个子算子类，使新定义的这类子算子包含权序列为{[(k+1)/(k+2)]α}∞k=0，α≥1的加权移位算子，并且讨论何时B1(D)中的算子与这类算子相似.
　　本文对Hilbert C*-模上的广义Cowen-Douglas算子也进行了初步研究.HilbertC*-模把C*-代数与模结构紧密联系起来，是Hilbert空间的推广，对其上算子的性质以及结构的探讨必然具有更大的研究价值和重要意义.本文证明了Hilbert C*-模上的广义Cowen-Douglas算子的一个典型例子，并且对新内积下的后向移位算子与HilbertC*-模上指标为1的广义Cowen-Douglas算子的关系进行了研究.
　　本文分为三部分，各部分的主要内容如下:
　　第一部分，介绍了本文需要用到的一些预备知识，如Cowen-Douglas算子的曲率、单边加权移位算子和Hilbert C*-模上广义Cowen-Douglas算子的定义等.
　　第二部分，首先定义了指标为1的Cowen-Douglas算子的一个子类(6)x，然后利用曲率函数的关系来研究何时B1(D)中的算子与这类算子相似，并且得到本文的一个重要定理:设T∈B1(D)，ψ是定义在D上的一个全纯函数且在单位闭圆盘上连续.对任意的S∈(6)x，如果-KT+ KS=△ψ（|w|2）且（eψ）(n)(0)＞0，则T～S.根据这个定理得到了(6)x包含权序列为[[(k+1)/(k+2)]α}∞k=0，α≥1的加权移位算子，在此定理的基础上还得到了一些推论并给出了证明.
　　第三部分，证明了HA上指标为1的广义Cowen-Douglas算子的一个典型例子，得到了关于B1(D，HA)的一些结论，并且对不同模结构对Cowen-Douglas算子结构性质的影响进行了研究.

目录

声明

摘要

引言

第一章 预备知识

1．1 Cowen-Douglas算子的曲率

1．2 单边加权移位算子的性质

1．3 Hilbert C*-模上的广义Cowen-Douglas算子

第二章Cowen-Douglas算子的相似性与曲率的关系

2．1 Cowen-Douglas算子B1(D)的一个子类：(G)x

2．2 B1(D)中的算子和(G)x的相似性与曲率的关系

2．3 一些推论

第三章 Hilbert C*-模上的广义Cowen-Douglas算子的一些结论

3．1 Hilbert C*-模上的广义Cowen-Douglas算子的一个典型例子

3．2 新内积下的后向移位算子与B1(D，HA)的关系

结论

参考文献

后记

攻读学位期间取得的科研成果清单