常微分方程边值问题多重正解的特征值准则

摘要

常微分方程是数学领域不可替代的一门重要学科，并逐渐成为现代科学技术中分析和解决问题强有力的工具。对微分方程的研究在当代的生产生活实践中具有极其重要的作用。边值问题是常微分方程理论研究中一个活跃且其成果丰硕的领域，尤其在非线性微分方程中对多点边值问题的研究，许多作者都取得了丰富的成果。
　　 解的存在性是常微分方程研究的重要问题之一。研究常微分方程解的存在性问题可转化成研究其相应的积分算子在Banach空间上锥中的不动点的存在性问题。证明解的存在性常用的不动点定理有：Schauder不动点定理，Krasnosel'skii不动点定理，Leggett-Williams不动点定理以及五个泛函不动点定理等。除此之外，也出现了一些新的方法研究方程解的存在性，如利用积分算子的特征值的方法研究解的存在性就是其中之一。本文就是利用算子的特征值的方法解决了几类微分方程边值问题正解的存在性。
　　 本论文共分三大主要部分，内容如下：
　　 首先，通过对n-阶微分方程多点边值问题的研究，应用新的方法--特征值的方法研究其边值问题解的存在性。在方程中非线性项可以在[0，1]上任意点具有奇性或在定义域内不具有连续性的情况下，证明了n-阶m点非线性边值问题至少存在三个正解。
　　 其次，讨论三阶带有积分边值条件的常微分方程正解存在性的问题。我们研究该方程对应的积分方程的积分算子的特征值，并根据不动点指数定理，判定三阶微分方程边值问题多重正解的存在性。
　　 最后，我们研究非线性项中含有二阶导数的带有积分边值条件的边值问题。我们定义了Banach空间的范数中含有导数的范数，借此证明其边值问题正解的存在性。