复杂网络的统计描述与网络建模的研究

摘要

目前国际上已经形成了复杂性问题和复杂网络的研究热潮。自然界中存在的大量的复杂系统如Internet网、计算机网络、神经系统、社会关系网络等都可以通过复杂网络加以描述。研究这些复杂网络是为了弄清产生它们的内在机制，了解它们的演化规律，进而找到这些网络之上的复杂行为与网络结构的关系，以便积累对支配复杂系统的自然规律的认识。本文采取从复杂网络建模入手，用统计物理和随机图论等工具对复杂网络的统计特征与性质、结构和功能等宏观规律进行研究。 第一章首先介绍了复杂网络的研究背景与发展过程以及研究现状。所做工作集中在下面几章。 第二章先阐述了复杂网络的度分布、平均路径长度和集聚系数等几个统计指标，再介绍ER模型、WS模型等几种早期的网络模型以及流行病的两种模型，最后描述了因特网、生物系统中的网络和科研合作网络等几个现实中的网络。 第三章对随机图论内容进行了讨论。对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，图论是研究网络共性的有力工具。本章分别从子图、图的演化、度分布、集聚系数和图谱等角度来分析复杂网络的相关性质。 第四章对渗流模型及理论进行了研究。渗流模型是从与随机图论相似但又与其不同的角度——临界概率角度，来分析复杂网络的结构和性质的变化。本章着重介绍了渗流模型及理论的几个重要性质、Cayley 树上的渗流和集团结构。 第五章从统计力学的角度分析和考察了无标度网络的形成机理与基本特征，介绍了无标度网络最常用的动力学模型——BA 模型。着重分析了基于连续性理论的动力学方法（包括平均场和速率方程）和基于概率理论的主方程方法在无标度网络研究中的应用及其相互关系。接下来提出了增长网络的形成机理，着重介绍由线性增长与择优连接组成的BA 模型，并基于马尔可夫链理论尝试了数值计算方法。另外，用这种数值计算方法研究了一个具有对数增长的加速增长模型。