三维椭圆型界面问题的有限差分法

摘要

有限差分方法主要用来解含有不连续界面问题的偏微分方程(PDF)。现在，已经广泛应用到计算复杂流体力学领域中。在三维椭圆模型中，使用笛卡尔网格方法求解，使其具有二阶精度。在计算复杂流体力学界面中，它的源项、系数和标准的流通量在穿过界面时可能是不连续的，这就会使大部分求解方程的数值方法不能很好的应用到此模型中。本论文研究了浸入界面方法在三维椭圆型界面问题的应用。本文的主要工作如下：
　　1、对于一般的三维椭圆型界面问题，它的系数是不连续的。针对此类模型，求解的基本思想是：采用水平集函数表示界面，把所有网格点划分成不规则点和规则点两大类；然后在建立一个新的坐标系统，在新的坐标系统下利用待定系数法来确定每一个网格点处的有限差分格式，进而推导出在不规则点处的修正项，并且对修正项分情况来讨论。这样，就得到了一个全局是二阶精度的差分格式。
　　2、对于系数为分片常数的三维椭圆型界面问题，针对此类模型求解它的基本思想是基于快速浸入界面方法和一种快速泊松解法求解，求解过程中我们采用GMRES迭代方法。并给出了实际例子，通过结合数值实验结果验证了此方法的可行性。

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第一章 绪 论

1.1 课题背景及意义

1.2 浸入界面方法的研究现状

1.3 本论文的课题来源

1.4 本论文主要内容

第二章 椭圆型浸入界面的IIM方法

2.1 问题的描述和方法的基本步骤

2.2 寻找投影点

2.3 在投影点处建立新的坐标系

2.4 界面关系

2.5 在不规则点处构造差分格式

2.6 一些细节

2.7 椭圆模型方程的数值实验

第三章 广义浸入界面方法

3.1 简要介绍及基本步骤

3.2 方程的离散系统及求解剩余残量

3.3 在控制点求表面相关量

3.4 求解控制点处法向导数

3.5 预条件策略

3.6快速IIM方法求解含三维模型方程的数值实验

第四章 总结与展望

参考文献

致谢