二阶复线性微分方程解的增长性

摘要

本文应用Nevanlinna理论和渐近方法研究方程f″+A(z)f′+B(z)f=0(1)解的增长性，其中A(z)，B(z)(≠)0都是整函数. 最近，G.Gundersen在文献[38]中提出方程解的增长性问题：当A(z)满足λ(A)<ρ(A)<∞,B(z)是非常数多项式时，是否方程(1)的每个非零解都是无穷级？本文利用对数导数的精确估计和Phragm(e)n-Lindel(o)f定理，部分解决了Gundersen问题. 我们也考虑指数多项式的性质和亚纯函数亏值理论，以及奇异方向理论等，给出了能保证方程(1)的每个非零解都是无穷级的几个充分条件.主要工作如下： 1.以指数多项式作为方程(1)的系数，通过分析指数多项式的角域增长性质与其凸包的关系，我们得到了使方程(1)的任意非零解都是无穷级的几个充分条件. 2.设a∈C是下级为μ的整函数A(z)的亏值，B(z)是指数多项式，我们得到了能保证方程(1)的每个非零解都是无穷级的两个充分条件：(ⅰ)△(B)=π;(ⅱ)△(B)<π且μ<π/π-△(B),δ(a,A)>1-cosμ(π-△(B))/2. 3.通过深入分析满足δ(0,A)=1的整函数在圆环内的增长性质和下级小于1的整函数的展布关系式，我们给出了能保证方程(1)的任意非零解都是无穷级的几个充分条件. 4.设A(z)是杨氏不等式极值函数，有穷亏值数目为p.B(z)是超越整函数，若存在趋于无穷的序列{rn}和α∈(p/2ρ(A),1]使得T{rn,B)~αlogM{rn,B),则方程(1)的每个非零解都是无穷级. 5.通过研究函数在其Julia方向附近的取值情况，并结合某些具有特殊增长性质的整函数，比如Denjoy猜想极值函数，具有有穷Borel例外值的整函数等，我们找到了能保证方程(1)的任意非零解都是无穷级的几个充分条件.