脉冲时刻依赖状态的微分方程组的定性理论

摘要

本文从经济、物理、航空航天等领域的实际问题出发，提出一类具有深刻物理背景又有广泛应用前景且兼具了连续和离散系统特征的脉冲时刻依赖于状态的微分方程组—警戒线微分方程组并进行研究。主要是建立警戒线微分方程组的适定性理论。(i)线性警戒线微分方程组此处公式省略其中a,b,c,d∈R，f，g∈Llloc(0+∞);R),x1,x2,y1,y2∈R且x1≠x2,y1≠y2，x0,y0∈R。
　　首先，合理引进广义解，讨论了广义解的局部存在唯一性、整体存在唯一性。进而讨论了脉搏现象:解曲线与警戒线交点的分布规律，即分别给出了解曲线与警戒线刚好无交点、有限个交点的充要条件且判别条件容易验证。为了克服了解关于初值即使按照1L拓扑也不连续的困难，我们引进新拓扑，在新拓扑意义下，讨论解关于初值的连续性。(ii)非线性警戒线微分方程组此处公式省略( II)其中 f, g是已知函数，x1, x2,y1,y2∈R且 x1≠x2,y1≠y2，x0,y0∈R。首先，因该系统的解所在的函数集没有线性结构，以至于无法直接应用不动点定理研究解的存在唯一性。其次，由于解曲线与警戒线相交时刻所构成的集合可能有有限聚点，以至于难以获得解的先验估计，然而解的先验估计是研究非线性方程解存在性的前提条件。为此，通过研究方程解的局部一致性以及综合应用不动点定理和构造方法，获得了解的局部存在唯一性、整体存在唯一性。不仅如此，也分别给出了解曲线与警戒线无交点、有有限个交点的充要条件，即讨论解的脉搏现象。同时，引进新的拓扑，在新拓的扑意义下，证明了非线性警戒线微分方程组的解关于初值是连续的。
　　本文揭示了脉冲时刻依赖于状态的微分方程组与微分方程、脉冲时刻依赖于状态的微分方程的本质区别，即脉冲会破坏原系统的固有属性，如系统的适定性。我们引进一些新概念，给出了一些新结果，其研究方法和所得结果对研究该类系统支配的最优控制等相关问题奠定了基础。

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详细摘要

1、线性警戒线模型的定性理论

2、非线性警戒线微分方程组的定性理论

本文主要创新之处如下

第一章 引 言

§1.1物理背景

§1.2研究概況

§1.3研究内容及创新之处

§1.4论文结构

第二章线性警戒线微分方程组

§2.1解的存在唯一性

§2.2 脉搏现象

§2.3 解对初值的连续依赖性

第三章非线性警戒线微分方程组

§3.1 解的存在唯一性

§3.2 脉搏现象

§3.3解对初值的连续依赖性

总结和展望

致谢

参考文献

科研成果和获奖情况

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