振荡介质中非线性平面波的折射与反射

摘要

对非线性动力学系统的行为研究一直是非线性科学研究的热点之一。近十年来非线性波的传播问题逐渐受到人们的关注，因为掌握非线性波的传播规律对了解一些生物现象有直接帮助。许多学者都在试图从实验、理论分析和数值模拟等方面来了解非线性波在介质中的传播行为。如Zhabotinsky等人1993年通过化学实验发现化学平面波能产生折射，折射满足Snell定律，并首次发现反射，以及指出了产生反射的条件——化学波由低速介质进入高速介质并且入射角大于临界角；Sainhai等人1998年指出了反应扩散系统中的折射满足Snell定律，并通过理论分析得出平面波由低速介质进入高速介质时形成的反射是折射的再次折射(回折射)形成的；Renwu Zhang等人2007年以化学BZ反应为模型研究波的传播，发现化学波也能发生反常折射现象，并且折射满足光学中的Snell定律；曹周键等人2007年以复数金慈堡-朗道方程为模型研究了的非线性波的折射和反射，发现系统可以形成正常和反常折射，并给出了产生反常折射的原因及验证了折射满足Snell定律等等。在上述研究结果中还存在不清楚的地方，例如，反射是回折射，如果没有折射，是否存在反射？平面波由低速介质进入高速介质时形成反射，如果平面波由高速介质进入低速介质能形成反射波吗? 要回答这些问题需要进一步研究。本论文以复数金慈堡-朗道方程和布鲁赛尔子为模型数值研究了的非线性平面波的折射与反射，首先研究了扩散对折射的影响，然后研究了无折射情况下的反射，最后探讨了给出折射、反射边界条件的可能性。 论文的第一章分别对低维混沌系统的特点、反应扩散系统的种类及动力学行为、平面波的折射和反射研究进展做了简单的介绍。 论文的第二章在二维复数金慈堡-朗道方程描述的反应扩散振荡系统中，就扩散对平面波折射率的影响进行了数值研究，从Snell定律出发导出了折射率的解析表达式，数值和理论结果表明：在纯扩散情况下，平面波的折射满足Snell折射定律，扩散只影响着平面波折射率的大小；在同时存在反应扩散情况下，只有在适当的扩散系数和系统参数下，平面波的折射才满足Snell折射定律。这些结果表明扩散系数对折射规律和折射率都有影响。 论文的第三章在二维复数金慈堡-朗道方程描述的振荡介质中研究了平面波的反射。从理论上给出了产生反射的条件，导出了反射波和入射波这两个区域的分界线与两种介质分界线的夹角。发现两类反射，一类为回折射产生的反射，对于这类反射，理论上给出的了反射角；另一类为纯反射，它与折射无关。理论分析与数值模拟结果均表明：只有当入射角大于临界入射角才会发生反射，而且反射角等于临界入射角；对于纯反射，反射角随波频率增大而增大。 论文的第四章以二维布鲁塞尔子为模型研究了化学波的反射和折射。首先通过与光波波矢所满足的边界条件类比给出了化学波在两种介质分界面上满足的边界条件。该边界条件能解释所有已经观察到的非线性波的反射和折射现象，能给出反射角。数值模拟证实了边界条件的正确性。我们首次发现，当波从高速介质进入低速介质时也可以发生反射，反射是一种回折射。