正交多项式的一些现代发展

摘要

正交多项式在国际数学研究中是一个非常活跃的领域,它与数学、物理以及其他科技领域都有着密切的联系.许多数学理论上的突破,比如De Branges对于Bieberbach猜想的证明,都应用了正交多项式的重要成果.近年来,正交多项式在George Andrews, Richard Askey,Mourad Ismail等数学家的领导下蓬勃发展.其突出成就体现在对Askey-Wilson多项式的发现与研究.这些多项式是现代已知的具有显式表达式的最一般的正交多项式. Maple以其强大的符号计算和数值计算功能,以及灵活多变的二维、三维的图形和动画制作技术,已经成为目前最为普遍的三大应用数学软件之一(另外两个数学软件是Mathematica和Matlab).Maple的图形和动画能够为正交多项式抽象的性质提供直观依据.基于著名的WZ算法,Maple可以证明大量的恒等式.我们将利用Maple展示经典正交多项式的一般性质,并利用Maple给出一些相关恒等式的证明. Askey-Wilson正交多项式是当今数学研究中许多重要工作的有力支柱,但由于本文篇幅限制,在此我们只对这种多项式的最一般的性质给出介绍.本文共分四章：第一章简要介绍了一些必要的背景知识,如欧拉的Γ函数、Beta函数、超几何级数和一些正交多项式的基本性质等.第二章我们利用Maple重点研究雅可比多项式及其特例.而在第三章我们运用Maple主要研究拉盖尔多项式和厄米特多项式的性质以及按正交多项式级数展开.最后一章我们介绍Askey-Wilson正交多项式.

目录

摘要

ABSTRACT

第一章 绪论

1.1 引言

1.2 基本概念及引理

第二章 雅可比多项式及其特例的性质

2.1 雅可比多项式及其性质

2.2 盖根堡多项式及其性质

2.3 勒让德多项式及其性质

2.4 切比雪夫多项式及其性质

第三章 拉盖尔多项式和厄米特多项式的性质及正交展开

3.1 拉盖尔多项式及其性质

3.2 厄米特多项式及其性质

3.3 按正交多项式级数展开

第四章 正交多项式的新发展

4.1 Askey-Wilson 多项式

结论与展望

参考文献

附录一

附录二

读硕期间参与的基金项目及发表的论文目录

致谢