弱H-子群与弱H*-子群对有限群结构的影响

摘要

设G是有限群，H≤ G.称H为G的H-子群，如果对G的任意元素g，有NG（H）∩Hg≤H.称H为G的弱H-子群，如果存在G的正规子群K满足G=HK，并且H∩K是G的H-子群;称H为G的弱H*-子群，如果存在G的子群K满足G=HK，并且H∩K是G的H-子群.在有限群的研究中，利用一些殊子群的性质来刻画有限群的结构是限群的研究中的一种重要方法.本文通过研究群的某些素数幂阶的弱H-子群与弱H*-子群，来探究群G的p-幂零性和幂零性及可解性，获得了有限群G的p-幂零性和幂零性及超可解性的若干新结论.本文按照内容共分为两章:第一章主要是分析如何提出弱H-子群与弱H*-子群，介绍其研究背景和一些基本定义以及一些已知成果，并给出弱H-子群与弱H*-子群的主要性质和本文所需的相关引理.第二章主要利用素数幂阶子群的弱H-子群与弱H*-子群，得到有限群G的可解性和p-幂零性及幂零性的若干充分条件.主要结果如下:
　　定理2.1.1设G为有限群，p∈π(G)，如果G的每个p阶子群含于Z∞(G)且当p=2时，G的4阶循环子群都含于(ae)形(G)，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.2设G是有限群，p是|G|的素因子，N(≤)G且G/N是p-幂零群.如果N的每个p阶子群都含于Z∞(G)且当p=2时，N的每个4阶循环子群都是G的弱H-子群，则G为p-幂零群.
　　定理2.1.3设G是有限群，若存在G的正规子群N，使得G/N是幂零群.如果F*(N)的每个4阶子群都是G的弱H-子群，则G是幂零群的充分必要条件是F*(N)的每个素数阶子群都属于Z∞(G).
　　定理2.1.4设p是|G|的最小素因子且是奇数，P是G的Sylp(G).若NG(P)是p-幂零，当P不是循环群时Φ(p)=1，并且存在P的子群D满足1＜|D|＜|P|使得P的每个阶为|D|的子群属于(ae)(G)，则G是p-幂零群.
　　定理2.2.1设G是有限群，p是|G|的最小素因子.如果G中存在交换Sylow p-子群P，且P的每个p阶子群在G中为弱H*-子群，则G为p-幂零群.
　　定理2.2.2设G是有限群，G的p-子群的Frattini子群皆为1，其中p∈π(G)且（|G|，p-1）=1.若G的每个p阶子群在G中为弱H*-子群，则G为p-幂零群.

目录

摘要

第一章 绪论

§1．1 引言和基本结果

§1．2 主要引理

第二章 主要结果

§2．1 弱H-子群对有限群的结构的影响

§2．2 弱H*-子群与有限群的结构

参考文献

符号说明

致谢

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