二维变重量光正交码的新结果

摘要

1989年Salehi提出了一维常重量光正交码(One-Dimensional Constant-Weight Optical Orthogonal Code，1D CWOOC)的概念，它作为一种签名序列被应用于光码分多址(OCDMA)系统.为了满足多种服务质量(QoS)的需求，Yang于1996年引入了一维变重量光正交码(One-Dimensional Variable-Weight Optical Orthogonal Code，1D VWOOC)的概念.随着社会的高速发展，人们对不同类型信息的需求逐渐提高，这就要求产生高速率、大容量、不同误码率的OCDMA系统.为了给光正交码扩容，Yang于1997年提出了二维常重量光正交码(Two-Dimensional Constant-Weight Optical Orthogonal Code，2D CWOOC)，但类似于一维常重量光正交码，二维常重量光正交码也只能满足单一质量的服务需求.为了解决这一问题，Yang于2001年引入二维变重量光正交码(Two-Dimensional Variable-WeightOptical Orthogonal Code，2D VWOOC).下面给出二维变重量光正交码的定义.
　　设W={w1，w2,…,wr}为正整数集合，Λa=（λ(1)a，λ(2)a,…λ(r)a）为正整数数组，Q=(q1，q2，…，qr)为正有理数数组且r∑i=1qi=1.不失一般性，假设w1＜w2＜…＜wr，二维（u×v，W,Λa，λc，Q）变重量光正交码，或(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC C，是一簇u×v的(0，1)矩阵（码字），并且满足以下三个性质:
　　(1)码字重量分布:C中的码字所具有的汉明重量均在集合W中，且C恰有qi·|C|个重量为wi的码字，1≤i≤r，即qi为重量等于wi的码字占总码字个数的百分比，因而r∑i=1qi=1.
　　(2)周期自相关性:对任意矩阵X∈C，其汉明重量wk∈W，整数(τ)，0＜(τ)＜v-1，X={ x0,0 x0，1… x0，v-1x1，0 x1,1… x1,v-1…………xu-1，0 xu-1，1… xu-1，v-1),u-1∑i=0 v-1∑j=0 xi，jxi,j⊕σ≤λ(k)a，1≤k≤r.
　　(3)周期互相关性:对任意两个不同矩阵X，Y∈C，整数(τ)，0≤(τ)＜v-1，X=(x0,0 x0，1… x0，v-1x1，0 x1，1… x1，v-1…………xu-1，0 xu-1，1… xu-1，v-1),Y=(y0,0y0,1…y0,v-1y1,0y1,1…y1,v-1…………yu-1,vyu-1,1…yu-1,v-1), u-1∑i=0v-1∑j=0xi，jyi,j⊕τ≤λc.上述符号⊕表示对v，取模运算.
　　若λ(1）a=λ(2）a=…=λ(r）a=λa，我们将(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC记为(u×v，W,λa，λc，Q)-OOC.若λa=λc=λ，则记为(u×v，W,λ,Q)-OOC.若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，则称Q是标准的，显然，b=r∑i=1ai.若W={w}，则Q=(1).所以，常重量的（u×v，w，λ）-OOC可以看作是（u×v，{w}，λ，(1))-OOC.
　　对于光正交码，当它的码字个数达到最大值时称其为最优的.而对于最优(u×v，W,1，Q)-OOC的构造已有一些成果，但就作者目前所知对于最优二维变重量光正交码的存在性结果不多，本文将做继续研究并且得到以下主要结果.
　　定理1.1设v为正整数，v，的每个质因子p≡3(mod4)且p≥11，则存在1-正则且最优(6×v,{3.4.6},1.(5/7,1/7,1/7))-OOC.
　　定理1.2设v为正整数，v，的每个质因子p≡5(mod8)且p≥53，则存在1-正则且最优(5×v,{3.4.5},1.(1/4,2/4,1/4))-OOC.
　　定理1.3设v为正整数，v的每个质因子p≡5(mod8)且p≥53，则存在1-正则且最优(6×v,{3，4.5},1,(2/11，6/11,3/11))-OOC.
　　定理1.4设v为正整数，v的每个质因子p≡5(mod8)且p≥29，则存在1-正则且最优(6×v,{3，4},1,(14/19,5/19))-OOC.
　　定理1.5设v为正整数，v的每个质因子p≡5(mod8)且p≥53，则存在1-正则且最优(6×v,{3，4},1,(10/17,7/17))-OOC.
　　定理1.6设v为正整数，v的每个质因子p≡7(mod12)且p≥31，则存在1-正则且最优(4×v，{3，4}，1，(14/15，1/15))-OOC.
　　定理1.7设v为正整数，v的每个质因子p≡7(mod12)且p≥19，则存在1-正则且最优(4×v，{3，4}，1，(2/9，7/9))-OOC.
　　定理1.8设v为正整数，v的每个质因子p≡7(mod12)且p≥31,则存在1-正则且最优(5×v，{3，4}，1，(23/24，1/24))-OOC.
　　第一章介绍与本文有关的概念及本文的主要结果;第二章给出W={3，4，5}，{3，4，6}的最优(u×v，W,1，Q)-OOCs的构造;第三章给出最优(u×v，{3，4}，1，Q)-OOCs的构造;第四章是小结及可进一步研究的问题.

目录

摘要

第一章 引言

§1．1 光正交码

§1．2 二维变重量光正交码与循环填充

§1．3 预备知识

§1．4 本文的主要工作

第二章 W={3，4，5}，{3，4，6}时的最优(u×v，W，1，Q)-OOCs

§2．2 最优(5×v，{3，4，5}，1，(1／4，2／4，1／4))-OOC的构造

§2．3 最优(6×v，{3，4，5}，1，(2／11，6／11，3／11))-OOC的构造

第三章 最优(u×v，{3，4}，1，Q)-OOCs

§3．1 最优(6×v，{3，4}，1，(14／19，5／19))-OOC的构造

§3．2 最优(6×v，{3，4}，1，(10／17，7／17))-OOC的构造

§3．3 最优(4×v，{3，4}，1，(14／15，1／15))-OOC的构造

§3．4 最优(4×v，{3，4}，1，(2／9，7／9))-OOC的构造

§3．5 最优(5×v，{3，4}，1，(23／24，1／24))-OOC的构造

第四章 小结及进一步研究的问题

参考文献

攻读硕士期间完成论文

致谢

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