有限群可解的若干充分条件

摘要

本文主要研究子群的性质对有限群结构的影响．第一章介绍了研究背景．第二章介绍所需的一些基本概念与基本引理．在第三章，集合K(G)}对有限群的影响已经被研究出来并且获得一些新结果．在第四章，通过利用群G在其不可约特征标集合以及共轭类集合上的作用之间的关系，得到了Frobenius群的一个特征标刻画．具体结果如下： 定理3.1设G是有限群，K(G)={1，m，m+2]．H，N是G的非平凡正规子群，ξ（H）=m，ξ(N)=m+2，则当G交换时有下列结论之一成立： (1)H∩N=1时，G=H×N，其中|H|=p，|N|=q，且q-p=2； (2)H∩N≠1时，K(G)={1，2，4}，此时G≌Z4×Z2，Z2×Z2×Z2，G≌Z8. 定理3.2设G是非交换p-群且K(G)={1，m，m+2}．则G的阶为33，G的结构可分为两种情况： (1)G=; (2)G=. 定理3.3设G为非交换且非素数幂阶的可解群．则K(G)={1，m，m+2}当且仅当下列陈述之一成立： (1)G是Frobenius群，G'是G的核且G'是G的极小正规子群，G'在G中有9阶或者pq阶循环补，其中(p，q)=1．q=(p-1）/2; (2)G/N≌Zp(×)Cn3.N是G的唯一极小正规子群且N是p-群．且对任意x∈G-N，有|CG(x)|=9． 定理3.4设G是非可解群．则K(G)={1，m，m+2}当且仅当下列陈述之一成立： (1)|G/G'|=9，G'非可解且G'是G的唯一极小正规子群．进一步，对任意3阶元x∈G-G'，有|CG(x)|=9； (2)G=G'×Z(G)，|Z(G)|=m是素数，G'是单群且ξ(G')=m+2； (3)G有两个正规子群G'和G''，G''非可解且G/G''≌Zp(×)Cn3，p=(3n-1)/2，p是素数，并且对任意x∈G'-G''，|CG(x)|=1或|CG(x)|=3． 定理3.5设G为幂零群．则|K(G)|=4当且仅当G是p4阶群，且对G的任意非平凡正规子群M，N，当|M|=|N|时，有ξ(M)=ξ(N).特别地，K(G)={1，p，p2，p3}．或K(G)={1,p,2p-1,p2+2p-2}或K(G)={1,p,p2,2p2-1}. 定理3.6设群G是非幂零的可解群，G'是G的唯一极小正规子群．则|K(G)|=4当且仅当G是形如Cnp(×)IrrCqr或者形如Cnp(×)IrrCq3的Frobenius群． 定理3.7设G是非幂零的可解群，G的极小正规子群不唯一，且G'不是G的极小正规子群．若对G的任意极小正规子群M，N，有ξ(M)=ξ(N)，则|K(G)|=4当且仅当G是形如(Cmp×Cnq)(×)IrrCr的Frobenius群，且M，N，G'是G的所有非平凡正规子群，特别地，K(G)={1,I+(pm-1)/r,1+(qn-1)/r,1+(pmqn-1)/r}. 定理4.2设G是可解群，如果每个x∈Irrm(G)都是拟本原的，则G是交换群． 定理4.3设G是M-群，G的导列长为l，则G是关于G（l-1）的相对M-群．

目录

第一章引言

第二章预备知识

第三章正规子群的共轭类的个数对群结构的影响

第四章关于Frobenius群的注记

参考文献

攻读硕士学位期间发表论文情况

符号说明

致谢

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