薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性

摘要

薛定谔-麦克斯韦方程是物理学家们在求解非线性薛定谔方程和一未知电场相互作用的解时得到的,变分法和临界点理论是研究薛定谔-麦克斯韦方程的有效工具. 本文在已有文献的基础上,通过改进位势项条件、弱化己知条件、添加次线性项条件的方法,分别运用山路定理,得到了三种不同类型的薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性. 根据内容,本文主要分为以下五章: 第一章介绍了所研究的方程和一些基本知识并相关引理. 第二章研究了非线性薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性. {-△u+V(x)u+K(x)Φu=f(x,u),x∈(R)3,-△Φ=K(x)u2,x∈(R)3.其中,V,K是关于x的函数,在V,K,f满足一定假设条件下,通过弱化已有文献中的某个条件,使用山路定理,证得了系统基态解的存在性,推广了已有文献中高能解的结论. 第三章研究了具有周期性的薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性 {-△u+V(x)u+K(x)Φu=f(x,u),x∈(R)3,-△Φ=K(x)u2,x∈(R)3.其中,V,K是关于X的周期函数,非线性项,是非自治的,且是关于X的周期函数,相比已有文献,,满足的条件更弱.使用没有紧性的山路定理,证得了此系统基态解的存在性,推广了已有文献中解的存在性与多重性的结论. 第四章考虑了带有次线性项的薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性. {-△u+V(x)u+K(x)Φu=f(x,u)-g(x,u,)x∈(R)3.-△Φ=K(x)u2,x∈(R)3.其中,g(x,u)关于u次线性增长,在V,K,f,g满足一定假设条件下,运用山路定理,仍可证得系统基态解的存在性,推广了已有文献中O

目录

第一章 绪论

1.2研究现状

1.3预备知识

1.4本文的工作安排

第二章非线性薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性

2.2准备工作

2.3主要结果的证明

第三章具有周期性的薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性

3.2准备工作

3.3主要结果的证明

第四章带有次线性项的薛定谔-麦克斯韦方程基态解的存在性

4.2准备工作

4.3主要结果的证明

第五章小结及进一步研究的问题

参考文献

攻读硕士期间完成论文

致谢

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