分数高斯噪声模型的参数估计及相关研究

摘要

1968年，Mandelbrot等人首先推广了布朗运动曲线为分数布朗运动(fractional Brown motion，fBm)曲线，分数高斯噪声(fractional Gaussian noise，fGn)作为fBm的增量过程被首次提出来。它是一类重要的自相似过程，模型简约，其性质主要由一个参数——Hurst指数决定，已经被广泛地应用到各个领域。关于fGn的Hurst指数估计一直备受关注，各种不同方法先后被提出来。然而，现有的方法不是估计精度不够，就是应用范围受到限制。本文致力于fGn参数估计以及相关研究，主要工作包括如下五个方面：
　　 ⑴提出了一种改进的周期图方法来估计fGn的Hurst指数。将频谱指数从线性形式推广到分段多项式，得到了fGn更精确的频谱函数的逼近，使得偏差极大地减小；平滑策略的运用使得估计的方差也显著地减小。此外，我们还考虑了改进方法的渐近无偏性，并得出了它的方差和置信区间的上界。根据均方误差标准，Monte Carlo仿真实验证明我们提出改进方法比小波极大似然估计要好，与Whittle估计相当，而且计算复杂度比Whittle估计低得多。
　　 ⑵为了从fGn噪声背景下有效地提取趋势，我们提出了两类新的趋势构造方法—三次分段约束样条趋势和DFA趋势。①通过引入三次分段约束样条，我们得到了等距节点和非等距节点的三次分段约束样条趋势；②基于传统的去趋势的波动分析法(Detrended Fluctuation Analysis，DFA)算法的分段趋势，我们构造了一类光滑的DFA趋势。在不同的趋势情形下，通过与已有的方法——经验模式分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)趋势估计和光滑样条趋势估计的比较，我们的两类趋势表现很好。此外，通过在仿真的磁共振脑功能信号中的应用，结果证明了我们所提出的趋势算法的优越性，具有很广阔的应用前景。
　　 ⑶我们将上面DFA趋势估计应用于带噪声的fGn参数估计，发展了一种改进的DFA估计方法，即对数据序列先去除DFA趋势，然后再用DFA进行估计。我们将算法应用到混有线性调频趋势的fGn和仿真的脑功能信号的参数估计中。两类仿真实验结果都证明：我们改进的方法能极大地减小传统的DFA的偏差，能胜任复杂趋势下的fGn参数估计。
　　 ⑷我们将前面提出的三次分段约束样条趋势引入到混有趋势的fGn参数估计中。仿真实验证明：它能够较好地提取复杂背景下的fGn中的复杂趋势，将DFA应用于分离趋势后的fGn参数估计，结果比不去趋势的传统DFA要精确得多。
　　 ⑸基于先前改进的周期图方法，我们提出了自适应的改进周期图方法，它能够适用于有弱趋势的场合下的fGn参数估计，比常用的DFA和Abry-Veitch估计效果要好得多；更进一步，我们引入前面提出三次样条趋势和DFA趋势估计，与自适应算法相结合，得到了效率很不错的两类新的算法——三次分段约束样条去趋势的自适应算法和DFA去趋势的自适应算法，它们能适用于强趋势下的fGn参数估计。仿真实验表明，这两类算法具有很好的鲁棒性，对趋势的幅度变化不敏感。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

1.1引言

1.2分数高斯噪声(fGn)

1.2.1分数布朗运动

1.2.2分数高斯噪声

1.3 fGn的参数估计

1.3.1 R/S估计

1.3.2 Whittle估计

1.3.3小波极大似然估计

1.3.4基于fBm的离散变异的估计

1.4 fGn与长期记忆过程

1.5 fGn的研究及相关问题

1.6论文的主要工作及内容安排

第二章改进的周期图方法

2.1引言

2.2周期图方法

2.3改进的周期图方法

2.4 Monte Carlo仿真实验

2.4.1仿真数据

2.4.2实验结果

2.5实际数据例子

2.6讨论

2.7本章小结

第三章fGn背景下的趋势估计

3.1引言

3.2自适应的趋势估计

3.2.1 EMD趋势

3.2.2光滑样条趋势

3.3 DFA趋势

3.3.1 DFA趋势算法

3.3.2 DFA趋势的相关参数估计

3.4三次分段约束样条趋势

3.4.1等距节点的三次分段约束样条趋势

3.4.2非等距节点的三次分段约束样条趋势

3.5趋势比较

3.5.1正弦趋势

3.5.2线性调频趋势

3.6仿真的BOLD信号的趋势估计

3.7本章小结

第四章改进的DFA算法

4.1引言

4.2 DFA算法

4.3改进的DFA(MDFA)

4.4仿真实验

4.4.1仿真数据

4.4.2实验结果

4.5 MDFA应用于仿真的脑功能信号

4.6本章小结

第五章结合三次分段约束样条去趋势的DFA算法

5.1引言

5.2 DFA算法

5.3结合三次分段约束样条去趋势的DFA算法

5.4仿真实验

5.4.1仿真数据

5.4.2实验结果

5.5本章小结

第六章自适应的改进周期图方法

6.1引言

6.2自适应改进的周期图方法(AMPE)

6.3仿真实验

6.3.1不同趋势下估计的比较

6.3.2不同强度趋势下估计的比较

6.4去趋势的AMPE

6.4.1基于等距节点的三次分段约束样条趋势的AMPE

6.4.2基于DFA趋势的AMPE

6.5本章小结

第七章结论与展望

7.1结论

7.2展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的学术论文及已完成的学术论文