类空闭流形上的双曲结构

摘要

我们称一个黎曼流形(M，g)是双曲流形是指该流形的截面曲率为负常数，即具有双曲结构。所有这样的流形都来自于双曲空间Hn模去其上面的一个离散等距群。但是，一直以来对于一个给定的黎曼流形，我们都没有一个很好的内蕴描述去判断该流形上是否存在着双曲度量。我们无法期待负曲率流形也有类似于正曲率流形“拼挤”定理这样漂亮的结果，因为从负曲率的“拼挤”能够得到的控制拓扑的信息比零曲率“拼挤”更少。在[24]中Gromov和Thuston构造的流形说明即使在充分“拼挤”的负曲率流形上也可以不存在双曲度量。但是在本文中，我们将证明在一大类具有负曲率的黎曼流形上很自然地存在着双曲度量。
　　 我们从类空超曲面出发推广定义了类空流形：定义0.1我们称一个三元组(M，gij，hij)是一个类空流形，如果(M，gij)是一个黎曼流形，并且hij是一个对称张量同时还满足下面的Gauss-Codazzi方程{Rijkl-(hilhjk-hikhjl)=0▽ihjk-▽jhik=0.接下来的想法是使用几何流去形变满足特定初始条件的流形M，将其具有负曲率的度量形变为双曲度量。
　　 首先，我们注意到目前很少有用热流形变负曲率度量得到双曲度量的结果；其次，对于维数n≥10的流形，在[20]中Farrell和Ontaneda证明了流形M上所有黎曼度量形成的模空间MεT(M)中的子集MεTsec＜0(M)道路不连通，更准确的说即流形M上所有具有负截面曲率的度量集合MεTsec＜0(M)具有无穷多的连通分支。因此假设我们从双曲流形N上的任意一个负曲率的度量出发，也只能当该负曲率度量与双曲度量在MεTsec＜0(N)中的同一个连通分支，我们才能在MεTsec＜0(N)这个类中将该负曲率度量形变为双曲度量。
　　 本文相对于一般的外蕴平均曲率流我们定义了内蕴的平均曲率流：(公式略)这是一个完全内蕴的演化系统。由于演化系统不是一个严格抛物方程组，为此我们使用De Turck技巧证明了该系统具有唯一的短时间解。然后通过困难的计算得到了Gauss-Codazzi方程在内蕴平均曲率流下始终保持，从而可以简化曲率和度量的演化方程。接下来利用关于矩阵的极值原理和Bernstein技巧给出了内蕴平均曲率流曲率和曲率的各阶导数估计，从而知道内蕴平均曲率流的解长时间存在。在此基础上我们给出了反映内蕴平均曲率流的长时间行为最为关键的单调性公式。然后再根据单调性公式可积性可以选取流形序列进行正规化，重新估计正规化后流形序列，利用Hamilton的紧性定理可知上述流形序列的子序列收敛到某个极限流形。单调性公式告诉我们极限流形为双曲流形，进一步分析知道初始流形与极限流形微分同胚，从而最终证明了本文的主要定理：定理0.2如果(M，g，h)是一个维数大于等于4的类空闭流形，它具有hij＞0，那么在M上存在一个双曲度量。

目录

文摘

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第一章综述

§1.1

§1.2

§1.3

§1.4

§1.5

第二章类空闭流形上的内蕴平均曲率流

§2.1短时间解的存在唯一性

§2.2 Gauss-Codazzi方程的保持性

§2.3度量和曲率张量的演化方程

§2.4导数估计

§2.5解的长时间行为和单调性公式

第三章类空闭流形上的双曲结构

§3.1解的正规化及其估计

§3.2紧性定理和双曲极限

§3.3类空闭流形的分类

参考文献

攻读学位期间完成的论文

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