广义精细积分法及其应用

摘要

本文提出了一种求解非齐次常微分方程组特解的广义精细积分法，并将其应用于非线性动力问题、薄板弯曲问题和随机振动问题的分析中。首先，针对非齐次项为多项式、指数函数、三角函数以及它们乘积的情况，选取一个-Duhamel积分形式的特解，并将积分区段τ划分为2N份。然后给出积分在一个微小区段τ/2N上的近似值，并建立一种递推关系，求出积分在区段τ/2N-1上的值，如此类推，只需迭代N次就能精确地计算出积分和，从而得到非齐次方程的一个特解。该方法将通解的精细积分和特解的精细积分两个过程有机地结合起来，形成一种广义精细积分法，因为后者能充分利用前者的中间结果，所以这种结合具有极高的效率。与其他特解精细积分法相比，广义精细积分法保持高精度的同时，既避免了矩阵求逆又给出了统一的计算公式。由于任意形式的非齐次项通常可拟合为样条函数或者Fourier级数，因而广义精细积分法是普遍适用的。算例结果证明广义精细积分法的有效性。
　　 对于非线性问题，本文的做法是将非线性项纳入到非齐次项，然后对待求量v在时间段[t1,ti+1]进行预估并用三次多项式逼近。这样就能够进一步将非线性项也表达为三次多项式，再利用广义精细积分法求解后便得到v的修正值。重复上述过程便得到一种迭代格式。算例结果表明，上述迭代方法计算精度高、收敛速度快。
　　 本文还将广义精细积分法应用于薄板弯曲问题和随机振动问题。薄板弯曲问题半解析化以后就转化成了一阶非齐次常微分方程组的两点边值问题。原有的两点边值问题精细积分法结合广义精细积分法，可以给出一种求解非齐次方程组两点边值问题的稳定、有效的算法。虚拟激励法将随机振动问题转化为求解结构在确定性荷载作用下的响应问题，结合广义精细积分法，可以使虚拟激励法的计算效率得到很大的提高。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章　绪论

1.1结构动力方程直接积分法简介

1.2精细积分法简介及研究现状

1.3板壳有限元简介

1.4本文的主要工作及论文章节安排

第二章　结构动力方程直接积分法

2.1中央差分法

2.2平均加速度、线性加速度及Newmark法

2.3 Wilson-θ法

2.4小结

第三章　齐次结构动力方程的精细积分

3.1精细积分法

3.2精细积分法的逼近机理

3.3精细积分法的误差估计

3.4精细积分参数的自适应选择

第四章　非齐次结构动力方程的精细积分

4.1非齐次方程特解的矩阵求逆解法

4.2非齐次方程特解的数值积分法

4.3增维精细积分法

4.4广义精细积分法

4.5本章小结

4.6算例

第五章　两点边值问题的精细积分

5.1基于合并消元法求解两点边值问题

5.2另一种处理方法及边界条件更一般的情况

5.3非齐次方程的情况

5.4算例

第六章　精细积分在非线性结构动力方程中的应用

6.1分段直接积分法求解非线性方程

6.2基于广义精细积分法的逐步逼近法求解非线性方程

6.3修正的精细Runge-Kutta法求解非线性结构动力学方程

6.4算例

第七章　精细积分法在板壳问题中的应用

7.1 Kirchhoff假设

7.2薄板理论

7.3 Reissner-Mindin一阶剪切变形理论

7.4运用精细积分法求解薄板弯曲问题

7.5算例

第八章　精细积分法在随机振动分析中的应用

8.1平稳随机激励

8.2非平稳随机激励

8.3算例

总结

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢