复小波框架、双向多-尺度加细函数及不可分小波的构造

摘要

自1986年以来, 小波分析已成为科学研究中的热点领域, 其应用涉及自然科学与工程技术的许多领域, 受到国内外广泛关注。目前小波分析已经成为研究和解决自然科学与工程计算中大量复杂问题的有力工具。本文在深入了解有关复小波、双向加细函数和不可分小波理论的基础上, 构造了具有紧支撑、共轭对称的复小波框架, 双向多-尺度加细函数及满足正交、对称等良好性质的不可分小波。
　　 本研究分为六个部分：第一章介绍了小波分析的发展简史, 并根据当前国内外的研究现状, 提出了本文课题的来源, 概述了本文的主要工作；第二章介绍了关于框架、双向多-尺度加细及不可分小波的基本理论、相关记号以及一些已有结论和有用的引理；第三章在已有的实小波紧框架的显式构造的基础上, 给出了2带复小波紧框架的显式构造, 并且使它同时具有紧支撑、线性相位、高阶消失矩等良好的性质；第四章引入了伸缩因子为a的双向多-尺度加细函数的概念, 研究了双向多-尺度加细方程解的存在条件。特别地, 给出这种方程的解是正交的充分必要条件, 并讨论了它们的一些性质；第五章通过伸缩矩阵为2I的不可分尺度函数来研究伸缩矩阵为M的不可分尺度函数(M2 = 2I), 并给出了伸缩矩阵为M的二元不可分正交对称的尺度函数的参数化公式；第六章通过选择一类特殊的矩阵来构造伸缩矩阵为3In的n维不可分正交小波。