框架理论中与稳定性相关的一些性质

摘要

框架是标准正交基的一种推广，它在许多应用中弥补了标准正交基的不足.典型的如在信号处理中，若以标准正交基处理信号，一旦出现数据部分丢失，完整的原信号将无法被重构.这种情况下，若以框架代替标准正交基则能很好的重构原信号.框架除了可用于信号处理以外，它还被广泛应用于图像处理、滤波器组理论和sigma-delta数字化等领域.
　　到目前为止框架理论已经取得了许多卓著的成果.其中框架（和推广框架）的稳定性是框架理论的一个重要组成部分.根据实际情况的不同，稳定性又可分为多种，本文仅考虑了其中两种特殊的情况，一种是框架针对擦除的稳定性，也称作框架的鲁棒性；另一种是fusion框架在算子扰动下的稳定性，简称fusion框架的算子扰动.
　　第一章简单介绍框架的历史背景和回顾框架理论中一些基本定义.
　　第二章研究框架系数部分丢失情况下的信号重构问题.首先对用于处理信号的框架进行挑选，从而在信号处理过程中达到降低重构信号计算量的目的；其次，考虑利用多个恰当对偶框架将原信号完整重构，进一步降低信号重构的计算量.
　　第三章判断框架的鲁棒性和构造具有一定鲁棒性的框架.对于随机给定的框架已有多种方法可以判断其鲁棒性，但这些方法计算量相对较大.对于许多规则的框架，可以利用向量函数和方程根的个数来判断框架的鲁棒性，从而降低判断框架鲁棒性的计算量.
　　第四章讨论fusion框架的算子扰动.该问题近年来为许多同行学者所关注，目前已经取得了很多重要成果.利用空间间隙讨论了fusion框架的算子扰动并推广了现有的相关研究成果.
　　第五章讨论fusion-Riesz框架. Fusion-Riesz框架是作为Riesz框架的推广而被提出来的.目前关于fusion-Riesz框架的研究极少，只有少量与fusion-Riesz框架算子扰动的研究成果.这章给出了部分fusion-Riesz框架的性质和关于fusion-Riesz框架算子扰动的新成果.

目录

声明

主要符号对照表

第一章 绪论

1.1 框架的历史背景和应用

1.2 框架中的一些基本定义

1.3 本文研究的问题

第二章 信号重构

2.1 问题及现状

2.2 为信号处理挑选对偶框架

2.3 为信号重构更新对偶框架

2.4 从典范对偶框架重构信号

2.5 对偶框架数量对信号重构的影响

2.6 为信号处理挑选适合框架

第三章 鲁棒性的判定和框架的构造

3.1 框架鲁棒性的判断

3.2 构造具有一定鲁棒性的框架

第四章 Fusion框架的算子扰动

4.1 问题及现状

4.2 Fusion框架序列的的算子扰动

4.3 Fusion框架的的算子扰动

第五章 Fusion-Riesz框架的算子扰动

5.1 问题及现状

5.2 Fusion-Riesz框架的算子扰动

参考文献

简历

致谢

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