最大长序列对生理系统非线性成分混叠问题的影响

摘要

系统辨识就是根据系统的输入输出(input-output，I/O)数据，按照一定的准则，选定一个合理的模型反映系统静态特性和动态特性。线性系统使用脉冲响应函数介定其I/O特性，对于非线性系统，描述其I/O特性需要使用高阶传输函数。沃特拉(Volterra)级数或者维纳(Wiener)级数经常被用来描述非线性系统的I/O关系。沃特拉或维纳级数由其所对应的核函数完全确定，而核函数的估计则可以通过被测系统的I/O数据实现。因此，核函数界定了系统的I/O关系，可以预测系统对任意刺激输入的响应。核函数还建立了系统内部结构信息的模型，有助于了解生理系统工作机理、对生理系统的异常或疾病诊断也具有重要价值。
　　准确的核函数估计是生理系统辨识的核心问题。核函数估计的方法依赖于输入信号的选择。其中，Lee-Schetzen互相关方法以高斯白噪声(Gaussian whitenoise)输入为基础，该方法理论体系完备，计算方法简单，近五十年来不断发展，得到了广泛应用。然而，在有些生理系统的非线性问题研究领域，输入信号往往要求是离散的脉冲串而不是连续的信号，例如在基于听觉诱发电位的听觉系统的非线性问题研究中，由于信号记录时信噪比的局限，通常采用重复性的短声(click)刺激。这类刺激一般表示为一组离散的脉冲串，其中一种被称为最大长序列(maximum length sequences，MLS)的脉冲串在生理系统非线性辨识中具有重要的理论和实践价值。这是因为MLS易于生成、计算简便，且具备和高斯白噪声类似的数学性质。Lee-Schetzen互相关方法可以推广到MLS输入的核函数估计，所得到的核函数称之为二元（binary）核。
　　通过互相关方法估计的是二元核函数实际上只是连续的核函数在多维空间中沿对角线方向的切片(slices)。根据MLS所特有的移位相乘性质，在实际计算时，这些切片都分布在一阶输入输出互相关函数上，其具体位置取决于产生MLS的本原多项式(primitive polynomial)。如果核切片位置的分布不合理，即相邻核切片位置过近，则核切片出现相互混叠现象，导致核函数估计错误。
　　本文详细介绍了基于MLS输入辨识非线性生理系统的特点和实现方法，并在此基础上针对辨识过程中存在的非线性成分混叠问题做了进一步的研究:
　　(1)从数学上对二元核切片混叠现象进行定义，发现解决混叠问题有三种方法，即增加一阶互相关函数的数据长度、分离估计各阶核函数和使切片合理分布在一阶互相关函数上。第一个方法有一定的不足之处，本论文的主要内容就是在后两种方法的思路下展开。我们推导了二元核与沃特拉核的关系，发现它们之间具体的数学表达式关系跟非线性系统的阶次有关。同时，偶数阶二元核的对角线切片无法通过Lee-Schetzen互相关方法估计，原因在于MLS的偶数阶乘积没有相对移位时变成了全1序列，这部分缺失的值反映了以MLS为输入辨识非线性生理系统的非完备性，跟互相关算法本身不相关。
　　(2)提出了基于逆重复最大长序列(inverse-repeat maximum length sequence，IR-MLS)解决混叠问题的新方法。IR-MLS是MLS和正负交替的类方波序列的乘积，仔细推导证明其同样具有移位相乘性质，但是要分奇数、偶数两种情况讨论。如果辨识时以IR-MLS为刺激，计算系统响应跟IR-MLS的一阶互相关函数，则该互相关函数中只分布有奇数阶的切片;而计算系统响应跟MLS的一阶互相关函数，则该互相关函数中只有偶数阶的切片存在。通过分别计算两个互相关函数，实现分离核函数估计的目的，显著的减少了核切片之间混叠的机率，最后维纳模型的仿真结果表明该方法的有效性。
　　(3)发现本原多项式的移位函数与其反转(reciprocal)本原多项式的移位函数存在对称性质，利用该对称关系可以使得移位函数的计算量减少50％。由于核切片的混叠跟其在一阶互相关函数中的具体位置分布有关，而这些具体位置又由本原多项式决定。本文综合考虑上述关系提出了一个最优本原多项式选择算法。该算法在给定非线性系统记忆长度和阶次的前提条件下，找到一个解决混叠问题的阶次最小的本原多项式，为实验设计过程中合理选用MLS提供了理论根据。文中最后通过一个维纳模型证明了该方法的有效性，同时也证明了简单的增加MLS的阶次不能有效解决混叠问题。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 课题背景

1．2 研究意义

1．3 非线性系统辨识综述

1．3．1 系统辨识定义和步骤

1．3．2 非线性系统模型

1．4 本文研究内容及结构安排

第二章 MLS辨识非线性系统二元核

2．1 MLS的代数结构

2．2 MLS的数学性质

2．3 从沃特拉核到二元核

2．4 二元核与沃特拉核的对应的关系

2．5 总结

第三章 IR-MLS辨识奇数／偶数阶二元核

3．1 引言

3．2 基于IR-MLS估计二元核切片

3．2．1 IR-MLS的数学性质

3．2．2 基于IR-MLS输入辨识非线性奇数阶和偶数阶二元核切片

3．3 仿真结果与讨论

3．3．1 非线性维纳模型

3．3．2 基于MLS输入和IR-MLS输入的非线性系统辨识比较

3．4 结论

第四章 本原多项式对辨识二元核的影响

4．1 引言

4．2 反转(reciprocal)本原多项式的移位相乘性质

4．3 最优本原多项式选择算法

4．4 仿真实验

4．5 结论

第五章 总结和展望

参考文献

攻读硕士期间成果

致谢

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