带有非单调功能反应函数的食饵-捕食系统的双参数分岔分析

摘要

近年来,生态问题一直是许多科学家关注的问题.食饵一捕食系统是生态系统的一个重要的分支,它主要是应用数学的思想,建立相应的数学模型,并且利用微分方程中的理论和方法,来探索种群的生存条件,种群与环境的关系等,从而揭示种群的变化规律,以此来促进生态平衡.
　　本文主要运用常微分方程定性理论、稳定性理论及分岔的理论,研究了当捕食者具有强Allee效应时,一类带有非单调功能反应函数的食饵一捕食系统的动力学行为,全文内容共分为六章.
　　第一章是绪论.本章主要介绍了(1)分岔理论的起源与发展,从分岔问题的起源,到分岔这个术语首次出现,以及经过大量的实验,得到丰富的分岔现象,进而得出分岔理论,以及分岔理论广泛应用于现实生活中.(2)功能反应函数的发展与现状,主要总结和归纳了各个阶段的功能反应函数的表达式、图像、实际意义,以及存在的问题.本文主要对带有非单调功能反应函数的食饵-捕食模型进行研究.(3)Allee效应,主要介绍了本文需要用到的强Allee效应和弱Allee效应.(4)带有功能反应函数的食饵.捕食系统的发展与现状,主要引用文献[1][2]中的模型,进行具体分析,从而引出本文需要讨论的模型.
　　第二章是预备知识.本章主要介绍了文中需要用到的基本概念和基本引理.包括:稳定性理论,分岔理论中的平衡点分岔理论与Hopf分岔理论,Gronwall引理等.
　　第三章讨论了带有非单调功能反应函数的食饵.捕食系统在(a,d)平面内,系统平衡点的存在性与稳定性.通过对模型进行分析,得到了系统最多有五个平衡点,其中有三个边界平衡点,还可能有两个内平衡点,而内平衡点的存在性依赖于不同的参数,为了研究强Allee效应对捕食者密度的影响,本文选择a和d作为分岔参数,并且考虑在(a,d)平面内,平衡点的存在区域与稳定性.通过利用Gronwall引理,证明了只要平衡点存在,一定是正的有界的.利用数形结合的方法分析了平衡点存在的条件以及得到了在(a,d)平面上,平衡点的分布情况,接着讨论了任一平衡点的变化矩阵,得到平衡点的类型以及其局部稳定性.
　　第四章在第三章的基础上讨论了带有非单调功能反应函数的食饵.捕食系统在(a,d)平面内可能出现的分岔现象,包括鞍结分岔,Hopf分岔,并且通过计算Liapunov系数证明了超临界的Hopf曲线的存在性.
　　第五章极限环.本章主要证明了系统只要满足其中的一个假设条件,则系统在第一象限内不存在极限环.
　　第六章是本文的总结与展望.总结了本文中的主要结论:首先讨论了系统解的个数,然后研究了在(a,d)平面上平衡点的存在性以及存在的区域,在此基础上分析了平衡点的稳定性,得到了丰富的结论;其次讨论了在(a,d)平面上出现的各种分岔情况,主要研究并证明了超临界的Hopf分岔曲线.在第四章,我们不能计算出具体的Hopf分岔曲线的表达式,因此不能确定出是否存在Bogdanov.Takens分支.

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第一章 绪论

第二章 预备知识

第三章 平平衡点的存在性与稳定性分析

第四章 分岔分析

第五章 极限环

第六章 本文的小结与展望

参考文献

在学期间发表论文

致谢