复杂网络上具有阶段结构和复发的酗酒模型研究

摘要

近年来，大学生酗酒问题日益严重，并且酒后导致的交通事故或者暴力事件时有发生。因此，研究酗酒的传播机制进而采取有效的措施来控制酗酒的传播是具有重大意义的。目前，对于酗酒的研究主要是利用微分方程建立数学模型，分析酗酒的传播并给出相关的控制策略，这种模型很直观却很难描述人群中个体的异质性。由于酗酒主要通过群体所组成的社会网络而传播，因此利用复杂网络理论建模更具有实际意义。随着复杂网络理论的逐步成熟，将传染病学和复杂网络理论相结合的研究已成为传染病动力学建模的主要趋势之一。本文在以前工作的基础上，结合传染病动力学、复杂网络和微分方程理论，利用平均场理论建立了两类不同的酗酒传播模型，并对其进行了深入的研究。研究内容主要包括以下两个方面：
　　首先，在无标度网络上建立具有阶段结构的SAIRS酗酒模型。模型中酗酒人群被分为两类，轻度酗酒者和重度酗酒者，并且模型中引入了空节点来考虑个体的出生和死亡。运用再生矩阵方法计算出了酗酒传播的基本再生数R0。当R0<1时，模型存在一个无酒平衡点，利用比较原理证得它是全局渐近稳定的。当R0>1时，模型存在一个酗酒平衡点，利用持续性定理及迭代法则证得它是全局吸引的。同时利用数值模拟验证了理论结果的正确性。
　　其次，众所周知酗酒传播会受到个体间的亲密程度(权重)以及暂时恢复者的复发酗酒的影响，因此本文建立无标度网络上具有酗酒复发影响的SIRS固定权重和自适应权重酗酒模型。同样利用再生矩阵方法计算出了酗酒传播的基本再生数R0。本模型分两种情况讨论，固定权重模型及自适应权重模型。对固定权重模型，当R0<1时，无酒平衡点是全局渐近稳定的，当R0>1时，酗酒平衡点是全局吸引的。对自适应权重模型，本文只对其进行数值模拟。通过数值模拟本文还详细比较了无权重酗酒模型、有固定权重酗酒模型和有自适应权重酗酒模型的异同。此外，本文还提出两种有效的控制酗酒策略。

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第一章 绪论

S1.1 研究背景及意义

S1.2 酗酒模型的发展历程

S1.3 复杂网络基本介绍

S1.3.1 复杂网络的定义

S1.3.2 复杂网络基本特征

S1.3.3 四类典型网络

S1.3.4 网络传染病模型

S1.4 本文的主要工作

第二章 无标度网络上的SAIRS酗酒模型的稳定性

S2.1 模型介绍

S2.2 基本再生数及酗酒平衡点的存在性

S2.2.1 基本再生数R0

S2.2.2 酗酒平衡点的存在性

S2.3 平衡点的稳定性

S2.3.1 无酒平衡点的稳定性

S2.3.2 酗酒平衡点的全局吸引性

S2.4 敏感性分析与数值模拟

S2.5 本章小结

第三章 具有复发和权重影响的SIRS酗酒模型的稳定性

S3.1 模型介绍

S3.2 模型的全局动力学行为

S3.2.1 基本再生数R0

S3.2.2 酗酒平衡点的唯一性

S3.2.3 无酒平衡点的全局稳定性

S3.2.4 酗酒平衡点的全局吸引性

S3.3 控制策略

S3.3.1 扩大恢复者的治疗比例

S3.3.2 扩大拒绝酒精的易感者的比例

S3.4 敏感性分析与数值模拟

S3.5 本章小结

总结与展望

参考文献

致谢

附录